Resumen sobre casos factorización

En la factorización se determinan los factores de una expresión algebraica.

Monomio factor común

Un monomio factor común se presenta cuando todos los términos de una expresión algebraica contienen un monomio como factor común. Por ejemplo:

$au+av+aw=a(u+v+w)$

El factor común de au+av+aw es a, entonces se puede factorizar a, y expresar au+av+aw como a(u+v+w).

Diferencia de dos cuadrados

Factorizar la diferencia de dos cuadrados consiste en encontrar los factores de una expresión algebraica como la que sigue:

$a^2-b^2$

Esta expresión se obtiene a partir del producto de dos binomios conjugados:

$(a+b)(a-b)$

Al realizar la multiplicación se obtiene:

$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2$

Reduciendo términos semejantes se llega a:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Entonces, los factores de una diferencia de cuadrados son dos binomios conjugados:

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Trinomio cuadrado perfecto

Factorizar un trinomio cuadrado perfecto implica encontrar los factores de expresiones algebraicas como las siguientes:

$a^2+2ab+b^2$

$a^2-2ab+b^2$

La primera expresión se obtiene por el cuadrado de una suma:

$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$

Entonces, los factores de un trinomio cuadrado perfecto de la forma

$a^2+2ab+b^2$ ,

es el cuadrado de una suma:

$a^2+2ab+b^2=(a+b)(a+b)=(a+b)^2$

Y la segunda se obtiene por el cuadrado de una diferencia:

$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-2ab+b^2$

Entonces, los factores de un trinomio cuadrado perfecto de la forma

$a^2-2ab+b^2$ ,

es el cuadrado de una diferencia:

$a^2-2ab+b^2=(a-b)(a-b)=(a-b)^2$

Factorizar un polinomio de cuatro términos

Para factorizar un polinomio de cuatro términos como el siguiente:

$ac+ad+bc+bd$

Debemos encontrar el factor común de los diferentes términos, por ejemplo, a es el factor común de ac y ad. Y también se puede observar que b es el factor común de bc y bd, entonces:

$ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)$

Ahora, se puede ver que el factor común de:

$a(c+d)$

$b(c+d)$

es:

$c+d$ ,

entonces, se tiene que:

$ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)$

Los factores de un polinomio de cuatro términos de la forma:

$ac+ad+bc+bd$

son dos binomios que no tienen un término común.

Trinomios de segundo grado

Los trinomios de segundo grado tienen las siguientes formas:

$x^2+(a+b)x+ab$

$acx^2+(ad+bc)x+bd$

El primer caso se obtiene como el producto de dos binomios que tienen un término común:

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

Entonces los factores de un trinomio de segundo grado de la forma:

$x^2+(a+b)x+ab$ ,

son dos binomios que tienen un término común.

El segundo caso se obtiene como el producto de dos binomios con un término semejante y el otro no común:

$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$

De tal modo que, los factores de un trinomio de segundo grado de la forma:

$acx^2+(ad+bc)x+bd$

son dos binomios con un término semejante y el otro no común.

Cubos perfectos

Un cubo perfecto puede tener las siguientes formas:

$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Para factorizar los cubos perfectos es necesario encontrar sus factores, recordando el cubo de la suma de un binomio y el cubo de la diferencia de un binomio, se tiene que:

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$