Resta de matrices (sustracción) - Definición y ejemplos

Sean dos matrices A y B del mismo orden mxn, para calcular A-B se procede restando a los elementos de la matriz A (minuendo) los correspondientes elementos de la matriz B (sustraendo). Lo que quiere decir que la operación se realiza entre los pares de elementos que ocupan la misma posición en ambas matrices.

Para que la resta exista las matrices deben ser del mismo orden mxn. Entonces, la definición de la resta de matrices es la siguiente:

Sean dos matrices A y B, ambas de orden mxn, la resta definida como A-B es una matriz C de orden mxn cuyos elementos se definen por:

$c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$

para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.

Alternativamente, podemos escribir:

$C=A-B=\begin{bmatrix} a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & \ldots & a_{1n}-b_{1n} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & \ldots & a_{2n}-b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m1}-b_{m1} & a_{m2}-b_{m2} & \ldots & a_{mn}-b_{mn} \end{bmatrix}$

Además, una propiedad importante es que podemos definir la resta entre las matrices A y B como una suma:

$A-B=A+(-B)$

Ejemplo 1:

Sean las matrices A y B:

$A=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ -1 & -5\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 6 & -3\end{bmatrix}$

Entonces, tenemos que:

$A-B=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ -1 & -5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 6 & -3\end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 2-1 & 3-2\\ -1-6 & -5-(-3)\end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ -7 & -2\end{bmatrix}$

La matriz C es la siguiente:

$C=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ -7 & -2\end{bmatrix}$

Ejemplo 2:

Sean las matrices A y B:

$A=\begin{bmatrix} 8\\ 0\\ -4\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} 3\\ 10\\ 9\end{bmatrix}$

Al realizar la operación A-B tenemos:

$A-B=\begin{bmatrix} 8\\ 0\\ -4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3\\ 10\\ 9\end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 8-3\\ 0-10\\ -4-9\end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 5\\ -10\\ -13\end{bmatrix}$

Por lo tanto, la matriz columna que resulta de A-B es:

$A=\begin{bmatrix} 5\\ -10\\ -13\end{bmatrix}$

Ejemplo 3:

Sean las matrices A y B:

$A=\begin{bmatrix} -5 & -12\\ -8 & 3\\ 6 & 2\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} -8 & 0\\ -7 & 9\\ 1 & -2\end{bmatrix}$

Realizamos el cálculo de la matriz como sigue:

$A-B=\begin{bmatrix} -5 & -12\\ -8 & 3\\ 6 & 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -8 & 0\\ -7 & 9\\ 1 & -2\end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 5-(-8) & -12-0\\ -8-(-7) & 3-9\\ 6-1 & 2-(-2)\end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 13 & -12\\ -1 & -6\\ 5 & 4\end{bmatrix}$

La matriz C es la siguiente:

$C=\begin{bmatrix} 13 & -12\\ -1 & -6\\ 5 & 4\end{bmatrix}$

Ejemplo 4:

Sean las matrices A y B:

$A=\begin{bmatrix} 3x & z & 5\\ 10 & 6 & 10\\ -8 & -12 & -x\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} -x & 2 & z\\ 5 & 3 & -4\\ -3 & -1 & -y\end{bmatrix}$

Entonces, tenemos que:

$A-B=\begin{bmatrix} 3x & z & 5\\ 10 & 6 & 10\\ -8 & -12 & -x\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -x & 2 & z\\ 5 & 3 & -4\\ -3 & -1 & -y\end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 3x-(-x) & z-2 & 5-z\\ 10-5 & 6-3 & 10-(-4)\\ -8-(-3) & -12-(-1) & -x-(-y)\end{bmatrix}$

$A-B=\begin{bmatrix} 4x & z-2 & 5-z\\ 5 & 3 & 14\\ -5 & -11 & -x+y\end{bmatrix}$

Entonces, la matriz C es la siguiente:

$C=\begin{bmatrix} 4x & z-2 & 5-z\\ 5 & 3 & 14\\ -5 & -11 & -x+y\end{bmatrix}$

Ejemplo 5:

Sean las matrices A y B:

$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & -6\\ 11 & -7 & \frac{1}{9}\\ 3 & 0 & 5\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} -1 & 1 & 3\\ -2 & 1 & 8\end{bmatrix}$

Las matrices A y B no son conformables para la resta porque son de diferente orden, la matriz A es de orden 3×3 y, la matriz B es de orden 2×3, luego, la resta A-B no existe.

No existe un tercer renglón en la matriz B, lo que implica que no se puede realizar ninguna operación con los elementos del tercer renglón de la matriz A.

Ejemplo 6:

Sean las matrices A y B:

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$