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Matriz simétrica – Definición y ejemplos

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada de nxn en la que sus elementos son simétricos respecto a su diagonal principal. Esto quiere decir que el elemento en el renglón i y columna j es igual al elemento en el renglón j y columna i.

La definición es la siguiente:

Sea la matriz A de orden nxn tal que se cumple que:

[a_{ij}]=[a_{ji}]

para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.

Lo que también podemos escribir como:

A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\  a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \ldots & a_{n1}\\  a_{12} & a_{22} & \ldots & a_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \ldots & a_{nn}\end{bmatrix}

Por ejemplo, la definición anterior implica que para una matriz A de orden 2 se tiene que:

a_{12}=a_{21}

A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\  a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}

Es fácil ver que los elementos de la diagonal principal son iguales a sí mismos. Una manera sencilla para comprobar que una matriz A es simétrica es determinar su matriz transpuesta, la matriz A será simétrica si es igual a su matriz transpuesta:

A^{T}=A

Ejemplo 1:

Sea la matriz A:

A=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -1 & 4\end{bmatrix}

La matriz es simétrica porque cumple la igualdad:

a_{12}=a_{21}

-1=-1

Además, su matriz transpuesta es:

A^{T}=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -1 & 4\end{bmatrix}

Ejemplo 2:

Sea la matriz A:

A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & -6 & 5\\ -1 & 5 & 8\end{bmatrix}

La matriz A es simétrica porque se cumplen las igualdades:

a_{12}=a_{21}

1=1

a_{13}=a_{31}

-1=-1

a_{23}=a_{32}

5=5

Además, su matriz transpuesta es:

A^{T}=\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & -6 & 5\\ -1 & 5 & 8\end{bmatrix}

Ejemplo 3:

Sea la matriz A:

A=\begin{bmatrix} 8 & -5 & 11\\ -5 & 3 & 0\\ 11 & 0 & -4\end{bmatrix}

La matriz A es simétrica dado que es igual a su matriz transpuesta:

A^{T}=\begin{bmatrix} 8 & -5 & 11\\ -5 & 3 & 0\\ 11 & 0 & -4\end{bmatrix}

Ejemplo 4:

Sea la matriz I:

I=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

La matriz idendidad de orden 3 es simétrica dado que su transpuesta es:

I^{T}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

En general, una matriz identidad de orden n es simétrica dado que todos los elementos que no pertenecen a su diagonal principal son nulos, por lo tanto, son simétricos respecto a la diagonal principal.

Ejemplo 5:

Sea la matriz A:

A=\begin{bmatrix} x & -x & 2z\\ -x & y & 3y\\ 2z & 3y & z\end{bmatrix}

La matriz A es simétrica porque es igual a su transpuesta:

A^{T}=\begin{bmatrix} x & -x & 2z\\ -x & y & 3y\\ 2z & 3y & z\end{bmatrix}

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Cómo citar

Editor. (11 febrero 2020). Matriz simétrica – Definición y ejemplos. Celeberrima.com. Última actualización el 09 marzo 2022.