Matriz transpuesta - Definición y ejemplos

La transposición es una operación que se realiza sobre una sola matriz y, dicha operación la transforma en otra matriz llamada matriz transpuesta. Los renglones de la matriz transpuesta son las columnas de la matriz original y, las columnas de la matriz transpuesta son los renglones de la matriz original.

La definición es la siguiente:

Sea A una matriz de mxn cuyos elementos se denotan por

$a_{ij}$

Entonces, la matriz transpuesta de A se denota por $A^T$ y, será de orden nxm, además, sus elementos se definen como:

$b_{ij}=a_{ji}$

La definición anterior establece que el elemento en el renglón i y columna j de la matriz transpuesta es el que podemos encontrar en el renglón j y la columna i de la matriz original A. Como previamente se ha mencionado, los renglones de la matriz transpuesta son las columnas de la matriz original y, las columnas de la matriz transpuesta son los renglones de la matriz original.

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}$

$A^{T}=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1m}\\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{nm} \end{bmatrix}$

Ejemplo 1:

Sea la matriz A:

$A=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & 4\end{bmatrix}$

Para encontrar la matriz transpuesta de A solo cambiamos renglones por columnas y columnas por renglones:

$A^{T}=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & 4\end{bmatrix}$

La matriz transpuesta de una matriz cuadrada de orden n será otra matriz cuadrada de orden n. En este ejemplo se tiene una matriz cuadrada de orden 2 y, su transpuesta es otra matriz cuadrada de orden 2.

Ejemplo 2:

Sea la matriz A:

$A=\begin{bmatrix} 4 & 10 & -2\end{bmatrix}$

Se trata de un vector fila o vector renglón, en consecuencia, su transpuesta será un vector columna:

$A^{T}=\begin{bmatrix} 4\\ 10\\ -2\end{bmatrix}$

La matriz original A es de orden 1×3 y, su transpuesta es de orden 3×1.

Ejemplo 3:

Sea la matriz A:

$A=\begin{bmatrix} \sqrt{3}\\ 1\\ -9\\ 5\end{bmatrix}$

La transpuesta de una matriz columna será una matriz renglón:

$A^{T}=\begin{bmatrix} \sqrt{3} & 1 & -9 & 5\end{bmatrix}$

La matriz original A es de orden 4×1, la matriz transpuesta es de orden 1×4.

Ejemplo 4:

Sea la matriz A:

$A=\begin{bmatrix} -15 & 12\\ -41 & \sqrt{7}\\ -2 & 10\end{bmatrix}$

La matriz transpuesta de A es la siguiente:

$A^{T}=\begin{bmatrix} -15 & 41 & -2\\ 12 & \sqrt{7} & 10\end{bmatrix}$

La matriz original A es de orden 3×2 y su transpuesta es de orden 2×3.

Ejemplo 5:

Sea la matriz A:

$A=\begin{bmatrix} -9 & 10 & -9 & 15\\ 1 & 8 & -13 & 2\end{bmatrix}$

La matriz transpuesta de A es la siguiente:

$A^{T}=\begin{bmatrix} -9 & 1\\ 10 & 8\\ -9 & -13\\ 15 & 2\end{bmatrix}$

La matriz original es de orden 2×4 y la matriz transpuesta es de orden 4×2.

Ejemplo 6:

Sea la matriz I:

$I=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

La matriz transpuesta es la siguiente:

$I^{T}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

La matriz original es una matriz identidad de orden 3, la transpuesta es una matriz identidad de orden 3. En general, la transpuesta de una matriz identidad de orden n es una matriz identidad de orden n.

Una matriz identidad es una matriz simétrica en relación a su diagonal principal, por esta razón la matiz transpuesta resulta igual a la matriz original.

Ejemplo 7:

Sea la matriz A:

$A=\begin{bmatrix} 5 & -3 & 10\\ -4 & 9 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}$

La matriz transpuesta de A es la siguiente:

$A^{T}=\begin{bmatrix} 5 & -4\\ -3 & 9\\ 10 & \frac{1}{4}\end{bmatrix}$

La matriz original es una matriz de orden 2×3 y su transpuesta es de orden 3×2.

Ejemplo 8:

Sea la matriz A:

$A=\begin{bmatrix} 8 & -5 & 11\\ -5 & 3 & 0\\ 11 & 0 & -4\end{bmatrix}$

La matriz transpuesta es la siguiente:

$A^{T}=\begin{bmatrix} 8 & -5 & 11\\ -5 & 3 & 0\\ 11 & 0 & -4\end{bmatrix}$

En este ejemplo la matriz transpuesta resulta igual a la matriz original, esto se explica porque son matrices simétricas. La matriz original A es simétrica porque sus elementos cumplen que:

$[a_{ij}]=[a_{ji}]$

Ejemplo 9:

Sea la matriz A:

$A=\begin{bmatrix} 0 & 5\\ -5 & 0\end{bmatrix}$

La transpuesta es la siguiente:

$A^{T}=\begin{bmatrix} 0 & -5\\ 5 & 0\end{bmatrix}$

La matriz original es una matriz cuadrada de orden 2 y su transpuesta es otra matriz cuadrada de orden 2. La matriz A es antisimétrica ya que sus elementos cumplen que:

$[a_{ij}]=[-a_{ji}]$

$[a_{ii}]=[-a_{ii}]=0$

Es decir que, para que una matriz sea antisimétrica los elementos simétricos respecto a la diagonal principal deben ser de igual magnitud pero con signos contrarios y, los elementos de su diagonal principal deben ser nulos.

Ejemplo 10:

Sea la matriz A:

$A=\begin{bmatrix} 1+i & 2-i & 9i\\ 5i & 2+2i & 9+3i\\ -1-i & i & 4+3i\end{bmatrix}$

La matriz transpuesta de A es la siguiente:

$A^{T}=\begin{bmatrix} 1+i & 5i & -1-i\\ 2-i & 2+2i & i\\ 9i & 9+3i & 4+3i\end{bmatrix}$

La matriz original es cuadrada de orden 3 y su transpuesta resulta una matriz cuadrada de orden 3.

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