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Ejemplos propiedades de la matriz identidad

Una matriz identidad es una matriz cuadrada en la que todos los elementos en la diagonal principal son igual a 1, el resto de elementos son iguales a cero. Su propiedad es que representa el elemento idéntico para la multiplicación de matrices.

Una matriz identidad I de orden m puede premultiplicar a una matriz A de mxn, el resultado del producto matricial será la matriz A.

I_{m}A=A

Ejemplo:

Sean las matrices I y A:

I=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}

A=\begin{bmatrix} 40 & 20\\ 35 & 11\end{bmatrix}

Entonces, el producto matricial IA se establece como:

IA=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 40 & 20\\ 35 & 11\end{bmatrix}

Multiplicamos, elemento a elemento, cada uno de los renglones de la matriz I por cada una de las columnas de la matriz A:

IA=\begin{bmatrix} (1)(40)+(0)(35) & (1)(20)+(0)(11)\\ (0)(40)+(1)(35) & (0)(20)+(1)(11)\end{bmatrix}

Al realizar las operaciones se obtiene la siguiente matriz:

IA=\begin{bmatrix} 40 & 20\\ 35 & 11\end{bmatrix}

Con este ejemplo hemos verificado que:

I_{m}A=A

Alternativamente, una matriz identidad I de orden n puede postmultiplicar a una matriz A de orden mxn, el resultado de este producto matricial será la matriz A.

AI_{n}=A

Ejemplo:

Consideremos las matrices I y A del ejemplo anterior, pero ahora la matriz identidad postmultiplica a la matriz A, es decir, vamos a calcular el producto matricial AI:

AI=\begin{bmatrix} 40 & 20\\ 35 & 11\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}

Multiplicamos, elemento a elemento, cada uno de los renglones de la matriz A por cada una de las columnas de la matriz I:

AI=\begin{bmatrix} (40)(1)+(20)(0) & (40)(0)+(20)(1)\\ (35)(1)+(11)(0) & (35)(0)+(11)(1)\end{bmatrix}

Realizamos las operaciones y se obtiene los siguiente:

IA=\begin{bmatrix} 40 & 20\\ 35 & 11\end{bmatrix}

Se verifica que:

AI_{n}=A

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