Multiplicación de matrices explicación paso a paso

El producto AB es el resultado de la multiplicación entre las matrices A y B. Se realiza multiplicando, elemento a elemento, cada uno de los renglones de la matriz A por cada una de las columnas de la matriz B. Es muy importante decir que las matrices sean conformables para la multiplicación, para ello, la primera matriz A (primer factor) debe tener tantas columnas como renglones tenga la segunda matriz B (segundo factor).

Matrices conformables y conmutatividad

Dos matrices A y B de orden mxn y nxp, respectivamente, son conformables para la multiplicación (AB) cuando la primer matriz A tiene el mismo número de columnas (n) que el número de renglones (n) la segunda matriz B. Luego, el producto BA no existe porque las matrices no son conformables para la multiplicación, B tiene p columnas y A tiene m renglones.

Como consecuencia de lo anterior, podemos decir que, en el caso de las matrices, el orden de los factores sí altera el producto, no existe conmutatividad:

$AB\not=BA$

Orden del producto AB

Otro aspecto importante es el orden de la matriz que se obtiene con el producto AB. Hemos señalado que las matrices A y B son de orden mxn y nxp, respectivamente. La nueva matriz C=AB tendrá tantos renglones como la matriz A (m renglones) y, tantas columnas como la matriz B (p columnas), es decir, la matriz C será de orden mxp.

Ejemplo:

Calcular el producto AB:

$A=\begin{bmatrix} 3 & 10\\ -4 & 0\\ 8 & -1\\ 0 & 5\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} -6 & -3 & 0\\ 1 & 0 & 8\end{bmatrix}$

Sabemos que la matriz A es de orden 4×2 y la matriz B es de orden 2×3, entonces, las matrices son conformables para la multiplicación puesto que la matriz A tiene un número de columnas (2) igual al número de renglones (2) que tiene la matriz B.

Además, podemos anticipar el orden (número de renglones x número de columnas) de la matriz C=AB. La matriz C será de orden 4×3, es decir, tendrá tantos renglones (4) como la matriz A y tantas columnas (3) como la matriz B.

$C=AB=\begin{bmatrix} 3 & 10\\ -4 & 0\\ 8 & -1\\ 0 & 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -6 & -3 & 0\\ 1 & 0 & 8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13}\\ c_{21} & c_{22} & c_{23}\\ c_{31} & c_{32} & c_{33}\\ c_{41} & c_{42} & c_{43}\end{bmatrix}$

Hay que recordar que los elementos de una matriz C se denotan como:

$c_{ij}$

para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.

Y que el subíndice i se asocia a los renglones y el subíndice j a las columnas, entonces, el elemento $c_{23}$ es aquel que se encuentra en el segundo renglón y tercera columna.

Para calcular el primer renglón de la matriz C tenemos:

$c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}$

$c_{11}=(3)(-6)+(10)(1)=-18+10=-8$

$C=\begin{bmatrix} -8 & c_{12} & c_{13}\\ c_{21} & c_{22} & c_{23}\\ c_{31} & c_{32} & c_{33}\\ c_{41} & c_{42} & c_{43}\end{bmatrix}$

Multiplicamos, elemento a elemento, el primer renglón de la matriz A por la primera columna de la matriz B para obtener el elemento en el primer renglón y primera columna de la matriz C.

$c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}$

$c_{12}=(3)(-3)+(10)(0)=-9+0=-9$

$C=\begin{bmatrix} -8 & -9 & c_{13}\\ c_{21} & c_{22} & c_{23}\\ c_{31} & c_{32} & c_{33}\\ c_{41} & c_{42} & c_{43}\end{bmatrix}$

Multiplicamos, elemento a elemento, el primer renglón de la matriz A por la segunda columna de la matriz B para obtener el elemento en el primer renglón y segunda columna de la matriz C.

$c_{13}=a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}$

$c_{13}=(3)(0)+(10)(8)=0+80=80$

$C=\begin{bmatrix} -8 & -9 & 80\\ c_{21} & c_{22} & c_{23}\\ c_{31} & c_{32} & c_{33}\\ c_{41} & c_{42} & c_{43}\end{bmatrix}$

Multiplicamos, elemento a elemento, el primer renglón de la matriz A por la tercera columna de la matriz B para obtener el elemento en el primer renglón y tercera columna de la matriz C.

Para calcular el segundo renglón de la matriz C tenemos:

$c_{21}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}$

$c_{21}=(-4)(-6)+(0)(1)=24+0=24$

$C=\begin{bmatrix} -8 & -9 & 80\\ 24 & c_{22} & c_{23}\\ c_{31} & c_{32} & c_{33}\\ c_{41} & c_{42} & c_{43}\end{bmatrix}$

Multiplicamos, elemento a elemento, el segundo renglón de la matriz A por la primera columna de la matriz B para obtener el elemento en el segundo renglón y primera columna de la matriz C.

$c_{22}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}$

$c_{22}=(-4)(-3)+(0)(0)=12+0=12$

$C=\begin{bmatrix} -8 & -9 & 80\\ 24 & 12 & c_{23}\\ c_{31} & c_{32} & c_{33}\\ c_{41} & c_{42} & c_{43}\end{bmatrix}$

Multiplicamos, elemento a elemento, el segundo renglón de la matriz A por la segunda columna de la matriz B para obtener el elemento en el segundo renglón y segunda columna de la matriz C.

$c_{23}=a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}$

$c_{23}=(-4)(0)+(0)(8)=0+0=0$

$C=\begin{bmatrix} -8 & -9 & 80\\ 24 & 12 & 0\\ c_{31} & c_{32} & c_{33}\\ c_{41} & c_{42} & c_{43}\end{bmatrix}$

Multiplicamos, elemento a elemento, el segundo renglón de la matriz A por la tercera columna de la matriz B para obtener el elemento en el segundo renglón y tercera columna de la matriz C.

Para calcular el tercer renglón de la matriz C tenemos:

$c_{31}=a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21}$

$c_{31}=(8)(-6)+(-1)(1)=-48-1=-49$

$C=\begin{bmatrix} -8 & -9 & 80\\ 24 & 12 & 0\\ -49 & c_{32} & c_{33}\\ c_{41} & c_{42} & c_{43}\end{bmatrix}$

Multiplicamos, elemento a elemento, el tercer renglón de la matriz A por la primera columna de la matriz B para obtener el elemento en el tercer renglón y primera columna de la matriz C.

$c_{32}=a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}$

$c_{32}=(8)(-3)+(-1)(0)=-24+0=-24$

$C=\begin{bmatrix} -8 & -9 & 80\\ 24 & 12 & 0\\ -49 & -24 & c_{33}\\ c_{41} & c_{42} & c_{43}\end{bmatrix}$

Multiplicamos, elemento a elemento, el tercer renglón de la matriz A por la segunda columna de la matriz B para obtener el elemento en el tercer renglón y segunda columna de la matriz C.

$c_{33}=a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}$

$c_{33}=(8)(0)+(-1)(8)=0-8=-8$

$C=\begin{bmatrix} -8 & -9 & 80\\ 24 & 12 & 0\\ -49 & -24 & -8\\ c_{41} & c_{42} & c_{43}\end{bmatrix}$

Multiplicamos, elemento a elemento, el tercer renglón de la matriz A por la tercera columna de la matriz B para obtener el elemento en el tercer renglón y tercera columna de la matriz C.

Para calcular el cuarto renglón de la matriz C tenemos:

$c_{41}=a_{41}b_{11}+a_{42}b_{21}$

$c_{41}=(0)(-6)+(5)(1)=0+5=5$

$C=\begin{bmatrix} -8 & -9 & 80\\ 24 & 12 & 0\\ -49 & -24 & -8\\ 5 & c_{42} & c_{43}\end{bmatrix}$

Multiplicamos, elemento a elemento, el cuarto renglón de la matriz A por la primera columna de la matriz B para obtener el elemento en el cuarto renglón y primera columna de la matriz C.

$c_{42}=a_{41}b_{12}+a_{42}b_{22}$

$c_{42}=(0)(-3)+(5)(0)=0+0=0$

$C=\begin{bmatrix} -8 & -9 & 80\\ 24 & 12 & 0\\ -49 & -24 & -8\\ 5 & 0 & c_{43}\end{bmatrix}$

Multiplicamos, elemento a elemento, el cuarto renglón de la matriz A por la segunda columna de la matriz B para obtener el elemento en el cuarto renglón y segunda columna de la matriz C.

$c_{43}=a_{41}b_{13}+a_{42}b_{23}$

$c_{43}=(0)(0)+(5)(8)=0+40=40$

$C=\begin{bmatrix} -8 & -9 & 80\\ 24 & 12 & 0\\ -49 & -24 & -8\\ 5 & 0 & 40\end{bmatrix}$

Multiplicamos, elemento a elemento, el cuarto renglón de la matriz A por la tercera columna de la matriz B para obtener el elemento en el cuarto renglón y tercera columna de la matriz C.

Observación: El producto BA no existe por que en este caso las matrices no son conformables para la multiplicación. B tiene 3 columnas y A tiene 4 renglones.

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