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Línea recta, geometría analítica, definición, ecuaciones

Se define la línea recta desde el punto de vista de la geometría analítica, se muestra cómo calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta, se proporciona la ecuación punto pendiente, la ecuación pendiente ordenada al origen, la ecuación con dos puntos conocidos y la ecuación general de la recta.

Índice

Definición de línea recta

Una línea recta se puede definir como la intersección de dos planos.

También, se define línea recta como el lugar geométrico de todos los puntos del plano tal que, la pendiente m es constante al considerar dos puntos cualesquiera de la línea recta P1(x1,y1) y P2(x2,y2).

Pendiente y ángulo de inclinación de una recta

El ángulo de inclinación de una línea recta es el que forma con el eje x y se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj. Entonces, el ángulo de inclinación de una línea recta se calcula como:

\alpha=\arctan\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)

De modo que:

\tan\alpha=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

Entonces, la pendiente m de la línea recta se calcula como:

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

Es importante señalar que x1 y x2 deben ser diferentes, de otro modo, el denominador es igual a cero, y la división entre cero no está definida. La pendiente m es igual a la tangente del ángulo de inclinación.

\tan\alpha=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=m

El ángulo de inclinación solamente puede tomar valores entre 0 y 180 grados sexagesimales. Si el ángulo de inclinación de la línea recta se encuentra entre 0 y 90 grados sexagesimales, entonces, la pendiente es positiva, en cambio, si el ángulo de inclinación de la línea recta se encuentra entre 90 y 180 grados sexagesimales, entonces, la pendiente es negativa.

Ejemplo:

Determinar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que contiene a los puntos (1,2) y (3,6).

Solución:

Se tiene la fórmula de la pendiente de una línea recta:

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

Si P1(1,2) y P2(3,6), entonces, se evalúa la fórmula de la pendiente para los valores conocidos de las coordenadas de los puntos:

m=\frac{6-2}{3-1}

Se realizan las restas en numerador y denominador:

m=\frac{4}{2}

Se calcula el cociente:

m=2

La pendiente de la línea recta que contiene a los puntos (1,2) y (3,6) es igual a 2.

Ahora, se considera la fórmula para el ángulo de inclinación de la recta:

\alpha=\arctan\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)

Al sustituir y hacer los cálculos se tiene que:

\alpha=\arctan\left(2\right)

\alpha=63^{\circ} 26'5.82''

Ecuación punto pendiente

La ecuación de la recta con pendiente m y que contiene al punto P1(x1,y1) es la siguiente:

y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)

Ejemplo:

Proporcionar la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a 3 y que contiene al punto (4,5).

Solución:

Se tiene la ecuación punto pendiente, se evalúa para las coordenadas y el valor de la pendiente:

y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)

y-5=3\left(x-4\right)

Se aplica la propiedad distributiva en lado derecho de la igualdad:

y-5=3x-12

Lo que es equivalente a:

3x-y-7=0

Ecuación pendiente ordenada al origen

Si se conoce la pendiente m de la recta y el punto (0,b) donde corta al eje coordenado Y, entonces, la ecuación de la recta se expresa como:

y=mx+b

Si la recta es paralela al eje coordenado Y, entonces, no tiene ordenada al origen y su ecuación es la siguiente:

x=k

Y k es una constante.

Ejemplo:

Proporcionar la pendiente y ordenada al origen de la recta cuya ecaución es la siguiente:

2x+3y+5=0

Solución:

Se escribe la ecuación que se proporciona de la forma y=mx+b, entonces, se resta 2x y 5 en ambos lados de la igualdad:

3y=-2x-5

Se dividen ambos lados de la igualdad entre 3:

y=-\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}

Por lo tanto, la pendiente de la recta y la ordenada al origen son:

m=-\frac{2}{3}

b=-\frac{5}{3}

Ejemplo:

¿Cuál es la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a 3 y su ordenada al origen es 5?

Solución:

La ecuación pendiente ordenada al origen es la siguiente:

y=mx+b

Se conocen los valores de la pendiente m=3 y de la ordenada al origen b=5 de la recta:

y=3x+5

Ecuación con dos puntos conocidos

Si se conocen dos puntos de la recta, entonces, su ecuación se expresa de la siguiente forma:

y-y_{1}=\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)\left(x-x_{1}\right)

Ejemplo:

Sean P1(4,2) y P2(3,9) dos puntos de una recta, determinar la ecuación de dicha recta.

Solución:

Se evalúa la ecuación para las coordenadas conocidas:

y-y_{1}=\left(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\right)\left(x-x_{1}\right)

y-2=\left(\frac{9-2}{3-4}\right)\left(x-4\right)

Se simplifica:

y-2=\left(\frac{7}{-1}\right)\left(x-4\right)

y-2=-7x+28

Por último, se suma 2 en ambos lados de la igualdad:

y=-7x+30

Ecuación general de la recta

La ecuación general de la recta se expresa como una ecuación de primer grado en x y y:

Ax+By+C=0

La ecuación es una recta paralela al eje Y cuando A es diferente de cero y B es igual a cero.

La ecuación es una recta paralela al eje X cuando B es diferente de cero y A es igual a cero.

La ecuación es una recta oblicua a los ejes coordenados cuando A y B son diferentes de cero.

La pendiente de la recta y su ordenada al origen se calculan con las siguientes fórmulas:

m=-\frac{A}{B}

b=-\frac{C}{B}

Si C=0, entonces, la recta contiene al origen.

Ejemplo:

Determinar la pendiente y ordenada al origen de la recta cuya ecuación es la siguiente:

2x+3y+5=0

Solución:

Se evalúan las fórmulas para los valores conocidos:

m=-\frac{A}{B}

m=-\frac{2}{3}

La pendiente de la recta es igual a menos dos tercios. Ahora, se calcula la ordenada al origen:

b=-\frac{C}{B}

b=-\frac{5}{3}

La ordenada al origen es igual a menos cinco tercios.

Temas relacionados con la circunferencia (geometría analítica):

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Cómo citar

Editor. (01 diciembre 2023). Línea recta, geometría analítica, definición, ecuaciones. Celeberrima.com. Última actualización el 07 diciembre 2023.