Se define la línea recta desde el punto de vista de la geometría analítica, se muestra cómo calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta, se proporciona la ecuación punto pendiente, la ecuación pendiente ordenada al origen, la ecuación con dos puntos conocidos y la ecuación general de la recta.
Índice
- Definición de línea recta
- Pendiente y ángulo de inclinación de una recta
- Ecuación punto pendiente
- Ecuación pendiente ordenada al origen
- Ecuación con dos puntos conocidos
- Ecuación general de la recta
Definición de línea recta
Una línea recta se puede definir como la intersección de dos planos.
![](https://i0.wp.com/www.celeberrima.com/wp-content/uploads/2023/12/resta-interseccion-de-dos-planos.jpg?resize=255%2C232&ssl=1)
También, se define línea recta como el lugar geométrico de todos los puntos del plano tal que, la pendiente m es constante al considerar dos puntos cualesquiera de la línea recta P1(x1,y1) y P2(x2,y2).
Pendiente y ángulo de inclinación de una recta
El ángulo de inclinación de una línea recta es el que forma con el eje x y se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj. Entonces, el ángulo de inclinación de una línea recta se calcula como:
De modo que:
![](https://i0.wp.com/www.celeberrima.com/wp-content/uploads/2023/12/pendiente-y-angulo-de-una-linea-recta.jpg?resize=321%2C249&ssl=1)
Entonces, la pendiente m de la línea recta se calcula como:
Es importante señalar que x1 y x2 deben ser diferentes, de otro modo, el denominador es igual a cero, y la división entre cero no está definida. La pendiente m es igual a la tangente del ángulo de inclinación.
El ángulo de inclinación solamente puede tomar valores entre 0 y 180 grados sexagesimales. Si el ángulo de inclinación de la línea recta se encuentra entre 0 y 90 grados sexagesimales, entonces, la pendiente es positiva, en cambio, si el ángulo de inclinación de la línea recta se encuentra entre 90 y 180 grados sexagesimales, entonces, la pendiente es negativa.
Ejemplo:
Determinar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que contiene a los puntos (1,2) y (3,6).
Solución:
Se tiene la fórmula de la pendiente de una línea recta:
Si P1(1,2) y P2(3,6), entonces, se evalúa la fórmula de la pendiente para los valores conocidos de las coordenadas de los puntos:
Se realizan las restas en numerador y denominador:
Se calcula el cociente:
La pendiente de la línea recta que contiene a los puntos (1,2) y (3,6) es igual a 2.
Ahora, se considera la fórmula para el ángulo de inclinación de la recta:
Al sustituir y hacer los cálculos se tiene que:
Ecuación punto pendiente
La ecuación de la recta con pendiente m y que contiene al punto P1(x1,y1) es la siguiente:
Ejemplo:
Proporcionar la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a 3 y que contiene al punto (4,5).
Solución:
Se tiene la ecuación punto pendiente, se evalúa para las coordenadas y el valor de la pendiente:
Se aplica la propiedad distributiva en lado derecho de la igualdad:
Lo que es equivalente a:
Ecuación pendiente ordenada al origen
Si se conoce la pendiente m de la recta y el punto (0,b) donde corta al eje coordenado Y, entonces, la ecuación de la recta se expresa como:
Si la recta es paralela al eje coordenado Y, entonces, no tiene ordenada al origen y su ecuación es la siguiente:
Y k es una constante.
Ejemplo:
Proporcionar la pendiente y ordenada al origen de la recta cuya ecaución es la siguiente:
Solución:
Se escribe la ecuación que se proporciona de la forma , entonces, se resta 2x y 5 en ambos lados de la igualdad:
Se dividen ambos lados de la igualdad entre 3:
Por lo tanto, la pendiente de la recta y la ordenada al origen son:
Ejemplo:
¿Cuál es la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a 3 y su ordenada al origen es 5?
Solución:
La ecuación pendiente ordenada al origen es la siguiente:
Se conocen los valores de la pendiente y de la ordenada al origen
de la recta:
Ecuación con dos puntos conocidos
Si se conocen dos puntos de la recta, entonces, su ecuación se expresa de la siguiente forma:
Ejemplo:
Sean P1(4,2) y P2(3,9) dos puntos de una recta, determinar la ecuación de dicha recta.
Solución:
Se evalúa la ecuación para las coordenadas conocidas:
Se simplifica:
Por último, se suma 2 en ambos lados de la igualdad:
Ecuación general de la recta
La ecuación general de la recta se expresa como una ecuación de primer grado en x y y:
La ecuación es una recta paralela al eje Y cuando A es diferente de cero y B es igual a cero.
La ecuación es una recta paralela al eje X cuando B es diferente de cero y A es igual a cero.
La ecuación es una recta oblicua a los ejes coordenados cuando A y B son diferentes de cero.
La pendiente de la recta y su ordenada al origen se calculan con las siguientes fórmulas:
Si C=0, entonces, la recta contiene al origen.
Ejemplo:
Determinar la pendiente y ordenada al origen de la recta cuya ecuación es la siguiente:
Solución:
Se evalúan las fórmulas para los valores conocidos:
La pendiente de la recta es igual a menos dos tercios. Ahora, se calcula la ordenada al origen:
La ordenada al origen es igual a menos cinco tercios.
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