Parábola con vértice en el origen, definición, ecuación

Se define la parábola con vértice en el origen y eje focal coincidente con un eje coordenado, se proporciona la ecuación de la parábola cuando abre hacia arriba o hacia abajo, y cuando abre hacia la derecha y hacia la izquierda. Además, se resuelven ejemplos.

Índice

Definición de parábola
Ecuación de la parábola con vértice en el origen
- Ecuación de la parábola que abre a la derecha o a la izquierda
- Ecuación de la parábola que abre hacia arriba o hacia abajo

Definición de parábola

Una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.

Es decir, la distancia d entre el foco F y el punto P es la misma que entre el punto P y la directriz L. Además, la directriz L y el eje focal L’ se intersecan en el punto O, el vértice V de la parábola se encuentra en el punto medio del segmento OF. El vértice V de la parábola equidista del punto O y del eje focal F.

La distancia entre el punto O y el foco F es igual a 2p, entonces, la distancia entre el vértice V y el foco F es igual a p, y la distancia entre el punto O y el vértice V es igual a p.

El segmento AB, perpendicular al eje focal y que contiene al foco F, se conoce como lado recto (LR) de la parábola y su longitud es igual al valor absoluto de cuatro veces p.

$LR=\mid4p\mid$

Ecuación de la parábola con vértice en el origen

Existen cuatro casos, el primero de ellos se trata de una parábola con vértice en el origen y que abre a la derecha. El segundo representa una parábola con vértice en el origen y que abre a la izquierda. El tercero describe una parábola con vértice en el origen y que abre hacia arriba. Por último, se tiene una parábola con vértice en el origen y que abre hacia abajo.

Ecuación de la parábola que abre a la derecha o la izquierda

La ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal coincidente con el eje coordenado X es la siguiente:

$y^{2}=4px$

Las coordenadas del foco F de la parábola son (p,0) y la ecuación de la directriz L es la siguiente:

$x=-p$

La parábola abre a la derecha cuando p es positiva.

Y la parábola abre a la izquierda cuando p es negativa.

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen, contiene al punto P(3,-4) y, además, su eje focal es coincidente con el eje X.

Solución:

Dado que el eje focal de la parábola es coincidente con el eje X y el vértice está en el origen, la ecuación de la parábola es de la forma:

$y^{2}=4px$

Luego, las coordenadas del punto P(3,-4) deben satisfacer la ecuación:

$\left(-4\right)^{2}=4p\left(3\right)$

Se calcula el cuadrado del lado izquierdo y el producto del lado derecho:

$16=12p$

Entonces, el valor de p se calcula como sigue:

$p=\frac{16}{12}$

Se eliminan factores comunes en numerador y denominador:

$p=\frac{4\cdot4}{3\cdot4}$

$p=\frac{4}{3}$

Se sabe que la parábola abre a la derecha porque p>0.

Entonces, se escribe la ecuación de la parábola con el valor que se ha determinado de p:

$y^{2}=4\left(\frac{4}{3}\right)x$

$y^{2}=\frac{16}{3}x$

Ahora que se conoce el valor de p, se puede calcular el lado recto de la parábola:

$LR=\mid4p\mid=\mid4\left(\frac{4}{3}\right)\mid=\frac{16}{3}$

Las coordenadas del foco F son (p,0), y p=4/3, entonces:

$F\left(\frac{4}{3},0\right)$

La ecuación de la directriz es de la forma:

$x=-p$

Y dado que p=4/3, se tiene que:

$x=-\frac{4}{3}$

Ejemplo:

Dada la ecuación de la parábola $2y^{2}=-16x$ , determinar las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco, el valor de p, la longitud del lado recto y la ecuación de la directriz.

Solución:

Se proporciona la ecuación $2y^{2}=-16x$ que representa una parábola, luego se dividen ambos miembros entre 2:

$y^{2}=-8x$

La ecuación tiene la forma $y^{2}=4px$ , entonces, se trata de una parábola con vértice en el origen y su eje focal es coincidente con el eje X, las coordenadas del vértice V son (0,0).

Luego, se calcula el valor de p:

$-8=4p$

Se dividen ambos miembros entre 4:

$p=\frac{-8}{4}=-2$

Dado que p<0, se tiene que la parábola abre a la izquierda.

Las coordenadas del foco se calculan como sigue:

$F\left(p,0\right)$

$F\left(-2,0\right)$

Luego, se calcula la longitud del lado recto:

$LR=\mid4p\mid$

$LR=\mid4\left(-2\right)\mid$

$LR=8$

La ecuación de la directriz tiene la forma:

$x=-p$

$x=-\left(-2\right)$

$x=2$

Ecuación de la parábola que abre hacia arriba o hacia abajo

La ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal coincidente con el eje coordenado Y es la siguiente:

$x^{2}=4py$

Las coordenadas del foco F de la parábola son (0,p) y la ecuación de la directriz L es la siguiente:

$y=-p$

La parábola abre hacia arriba cuando p es positiva.

La parábola abre hacia abajo cuando p es negativa.

Ejemplo:

Dada la ecuación de la parábola $3x^{2}=18y$ , determinar las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco, el valor de p, la longitud del lado recto y la ecuación de la directriz.

Solución:

Ambos miembros de la ecuación dada se dividen entre 3:

$x^{2}=6y$

Se sabe que la parábola tiene vértice en el origen y eje coincidente con el eje Y, ya que su ecuación tiene la forma $x^{2}=4py$ , entonces, las coordenadas del vértice V son (0,0).

El valor de p se calcula como sigue:

$4p=6$