Definición y ecuación de hipérbola equilátera

Se explica qué es una hipérbola equilátera y se proporciona su ecuación cuando tiene centro en el origen, cuando tiene centro fuera del origen, cuando su eje focal coincide con un eje coordenado y cuando su eje focal forma un ángulo de 45^o con los ejes coordenados.

Definición de una hipérbola equilátera

Una hipérbola equilátera es aquella en la que sus ejes transverso y conjugado son de la misma longitud, lo que implica que los semiejes a y b son iguales.

Ecuación de la hipérbola equilátera

Si se trata de una hipérbola con centro en el origen y eje focal coincidente con el eje X, su ecuación es de la forma:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Y dado que sus semiejes transverso y conjugado son iguales (a=b):

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$

Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por el cuadrado de a, se tiene:

$x^{2}-y^{2}=a^{2}$

La ecuación de la hipérbola equilátera con centro en el origen y eje focal coincidente con el eje Y, se obtiene mediante un procedimiento análogo al anterior:

$y^{2}-x^{2}=a^{2}$

De manera similar, se determina la ecuación de la hipérbola equilátera con centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje X

$\left(x-h\right)^{2}-\left(y-k\right)^{2}=a^{2}$

Por último, la ecuación de la hipérbola equilátera con centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje Y

$\left(y-k\right)^{2}-\left(x-h\right)^{2}=a^{2}$

Si los ejes focal y normal forman un ángulo de 45^o con los ejes coordenados, y q es una constante diferente de cero, entonces, la ecuación de la hipérbola equilátera con centro en el origen es:

$xy=q$