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Circunferencia, geometría analítica, qué es, ecuación

Todos los puntos de una circunferencia equidistan del centro de la misma, además, se proporciona la ecuación de la circunferencia con centro en el origen, la ecuación de la circunferencia con centro en (h, k) y la ecuación general de la circunferencia. En cada caso, se muestra un ejemplo.

Índice

Qué es una circunferencia

Una circunferencia se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo C conocido como centro.

La distancia de cualquier punto P (x, y) sobre la circunferencia es equidistante del centro C, la distancia de cualquier punto P (x, y) al centro C es igual al radio r.

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen

La ecuación de una circunferencia con centro en el origen es la siguiente:

x^{2}+y^{2}=r^{2}

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 2 unidades.

Solución:

Se tiene que la ecuación es de la forma x^{2}+y^{2}=r^{2}, entonces, se sustituye r por el valor del radio:

x^{2}+y^{2}=2^{2}

Se eleva 2 al cuadrado:

x^{2}+y^{2}=4

Todos los puntos de esta circunferencia equidistan del centro en 2 unidades.

Ejemplo:

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y uno de los puntos sobre la circunferencia es (8, 6)?

Solución:

Se conoce la ecuación de la circunferencia con centro en el origen x^{2}+y^{2}=r^{2}, entonces, se sustituyen x y y por las coordenadas conocidas (8, 6):

8^{2}+6^{2}=r^{2}

Se calculan las segundas potencias:

64+36=r^{2}

Se suma en el lado izquierdo de la igualdad:

100=r^{2}

Se calcula la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad:

r=\sqrt{100}

r=10

El radio de la circunferencia es igual a 10 unidades, entonces, su ecuación es la siguiente:

x^{2}+y^{2}=10^{2}

Alternativamente, se puede escribir:

x^{2}+y^{2}=100

Ecuación de la circunferencia con centro en (h,k)

La ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r es la siguiente:

\left(x-h\right)^{2}+\left(y-k\right)^{2}=r^{2}

En este caso, se tiene que h y k son diferentes de cero.

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en (-2, 3) y radio igual a 3.

Solución:

Se evalúa para los valores conocidos de las coordenadas del centro y el radio:

\left(x-h\right)^{2}+\left(y-k\right)^{2}=r^{2}

\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2}=3^{2}

Finalmente, se tiene la ecuación de la circunferencia al simplificar:

\left(x+2\right)^{2}+\left(y-3\right)^{2}=9

Ecuación general de la circunferencia

La ecuación general de la circunferencia tiene la siguiente forma:

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

Si D^{2}+E^{2}-4F>0, entonces, la ecuación corresponde a una circunferencia con centro en el punto:

C\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)

Y su radio se calcula de la siguiente manera:

r=\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}

Si D^{2}+E^{2}-4F=0 la ecuación representa un punto cuyas coordenadas son:

C\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)

Si D^{2}+E^{2}-4F<0, entonces, la ecuación no corresponde a ningún lugar geométrico.

Ejemplo:

Expresar en forma ordinaria la siguiente ecuación general de la circunferencia:

x^{2}+y^{2}+10x-8y+25=0

Solución:

Se aplica la fórmula para encontrar el centro:

C\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)

Se evalúa para los valores conocidos:

C\left(-\frac{10}{2},-\frac{\left(-8\right)}{2}\right)

Se simplifica para, finalmente, obtener el centro de la circunferencia:

C\left(-5,4\right)

Se aplica la fórmula para determinar el radio de la circunferencia:

r=\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}

Se evalúa para los valores conocidos:

r=\frac{1}{2}\sqrt{10^{2}+\left(-8\right)^{2}-4\left(25\right)}

Al simplificar se obtiene que:

r=\frac{1}{2}\sqrt{100+64-100}

r=\frac{1}{2}\sqrt{64}

r=\frac{1}{2}\cdot8

r=4

Entonces, se evalúa para las coordenadas del centro y el radio:

\left(x-h\right)^{2}+\left(y-k\right)^{2}=r^{2}

\left(x-\left(-5\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}=4^{2}

Por último, se simplifica:

\left(x+5\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}=16

Temas relacionados con la línea recta (geometría analítica):

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Cómo citar

Editor. (30 noviembre 2023). Circunferencia, geometría analítica, qué es, ecuación. Celeberrima.com. Última actualización el 03 diciembre 2023.