Se describe la parábola con vértice fuera del origen y eje focal paralelo a un eje coordenado, se proporciona la ecuación de la parábola cuando abre hacia arriba o hacia abajo y cuando abre hacia la derecha y hacia la izquierda. En cada caso, se resuelven ejemplos.
Índice
Una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.
La distancia d entre el foco F y el punto P es la misma que entre el punto P y la directriz L. El vértice V de la parábola equidista del foco F y del punto en el que el eje focal y la directriz se intersecan. La distancia entre el vértice V y el foco F es igual a p.
El segmento AB define la longitud del lado recto de la parábola y su fórmula es la siguiente:
Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen
Existen cuatro casos de una parábola con vértice fuera del origen, el primero de ellos se trata de una parábola con eje focal paralelo al eje X y que abre a la derecha. El segundo representa una parábola con eje focal paralelo al eje X y que abre a la izquierda. El tercero describe una parábola con eje focal paralelo al eje Y y que abre hacia arriba. Por último, se tiene una parábola con eje focal paralelo al eje Y y que abre hacia abajo.
Ecuación de la parábola que abre a la derecha o a la izquierda
La ecuación de la parábola con vértice fuera del origen y eje focal paralelo al eje X es la siguiente:
Las coordenadas del foco F son (h+p,k) y la ecuación de la directriz L es la siguiente:
La parábola abre a la derecha si p es positiva.
La parábola abre a la izquierda si p es negativa.
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la parábola con vértice V(3,4) y foco F(7,4).
Solución:
Se sabe que el eje focal es paralelo al eje X porque la ordenada del vértice y del foco es la misma, luego, la ecuación de la parábola es de la forma:
Al sustituir h y k por las coordenadas del vértice V(3,4) se tiene:
Para determinar el valor de p se calcula la distancia entre el vértice V y el foco F, la ordenada para el vértice y para el foco es la misma, entonces, la distancia está determinada por el valor absoluto de la diferencia entre las abscisas 7-3=4, entonces:
Se sabe que p>0 porque según las coordenadas proporcionadas el foco F está a la derecha del vértice V, lo que implica que la parábola abre a la derecha y p es positiva.
Al sustituir p por 4 en la ecuación se tiene:
Al desarrollar el cuadrado del lado izquierdo y el producto del lado derecho se obtiene la ecuación general de la parábola:
Se resta 16x y se suma 48 en ambos lados de la igualdad:
El lado recto de la parábola se calcula como el valor absoluto de cuatro veces p:
La ecuación de la directriz se determina como:
Se tiene que h=3 y p=4:
Ejemplo:
Proporcionar la ecuación de la parábola con vértice V(-2,1) y que contiene al punto P(-6,5), además, su eje focal es paralelo al eje X.
Solución:
Si el eje focal es paralelo al eje X, entonces, la ecuación es de la forma:
Se sustituyen h y k por las coordenadas del vértice:
Si la parábola contiene el punto P(-6,5), entonces, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación, de este modo, se halla el valor de p:
Se calcula el cuadrado del lado izquierdo de la igualdad y el prodcuto del lado derecho:
Luego, se tiene que:
Si p<0, entonces, la parábola abre a la izquierda. Y la ecuación de la parábola es la siguiente:
Al desarrollar el cuadrado del lado izquierdo y el producto del lado derecho, se obtiene la ecuación general de la parábola:
Se suma 4x y 8 en ambos lados de la ecuación:
El lado recto se calcula como:
La ecuación de la directriz tiene la forma:
Las coordenadas del foco están dadas como:
Y se tiene que h=-2, k=1 y p=-1:
Ecuación de la parábola que abre hacia arriba o hacia abajo
La ecuación de la parábola con vértice fuera del origen y eje focal paralelo al eje Y es la siguiente:
Las coordenadas del foco F son (h,k+p) y la ecuación de la directriz L es la siguiente:
La parábola abre hacia arriba si p es positiva.
La parábola abre hacia abajo si p es negativa.
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la parábola con vértice V(-1,-2) y foco F(-1,3).
Solución:
Se sabe que la parábola abre hacia arriba porque la abscisa del vértice y el foco es la misma, entonces, el eje focal es paralelo al eje Y y, además, el foco se encuentra arriba del vértice. Luego, la ecuación de la parábola es de la siguiente forma:
Para determinar el valor de p se calcula la distancia entre el vértice V y el foco F, la abscisa para el vértice y para el foco es la misma, entonces, la distancia está determinada por el valor absoluto de la diferencia entre las ordenadas 3-(-2)=5, entonces:
Se sabe que p>0 porque, según las coordenadas proporcionadas, el foco F está arriba del vértice V, lo que implica que la parábola abre hacia arriba y, por lo tanto, p es positiva.
Ahora, se sustituyen h, k y p en la ecuación por sus valores:
Al desarrollar se obtiene la ecuación general de la parábola:
Se resta 20y y 40 en ambos miembros de la ecuación:
La longitud del lado recto de la parábola se calcula como sigue:
La ecuación de la directriz tiene la forma:
Dado que k=-2 y p=5, se tiene que:
Ejemplo:
Proporcionar la ecuación de la parábola con vértice V(1,1) y que contiene al punto P(5,-6), además, su eje focal es paralelo al eje Y.
Solución:
Si el eje focal es paralelo al eje Y, entonces, la ecuación es de la forma:
Se sustituyen h y k por las coordenadas del vértice:
Si la parábola contiene el punto P(5,-6), entonces, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación, de este modo, se halla el valor de p:
Se calcula el cuadrado del lado izquierdo de la igualdad y el producto del lado derecho:
Luego, se tiene que:
Se simplifica eliminando factores comunes en el numerador y en el denominador:
Si p<0, entonces, la parábola abre hacia abajo. Y la ecuación de la parábola es la siguiente:
Al desarrollar el cuadrado del lado izquierdo y el producto del lado derecho, se obtiene la ecuación general de la parábola:
Se escriben todos los términos del lado izquierdo de la igualdad:
El lado recto se calcula como:
La ecuación de la directriz tiene la forma:
Las coordenadas del foco están dadas como:
Y se tiene que h=1, k=1 y p=-4/7, entonces:
Temas relacionados con la línea recta (geometría analítica):