Ecuación de la hipérbola con centro (h,k) fuera del origen

En este artículo se proporcionan los dos casos de la ecuación de la hipérbola con centro (h,k) fuera del origen y eje focal paralelo a un eje coordenado. Además, se resuelve un ejemplo en que se debe obtener la ecuación de la hipérbola dadas las coordenadas de su centro y de un vértice.

Índice

Ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo a un eje coordenado
- Ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X
- Ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje Y
Ejemplo

Ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo a un eje coordenado

Se tiene dos casos, cuando el eje focal de la hipérbola es paralelo al eje X y cuando es paralelo al eje Y.

Ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje X

La ecuación de la hipérbola con centro en (h,k) y eje paralelo al eje X se expresa como sigue:

$\frac{\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}=1$

Las coordenadas de los focos y vértices son: F₁(h-c,k), F₂(h+c,k), V₁(h-a,k) y V₂(h+a,k).

Ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo al eje Y

Análogamente, la ecuación de la hipérbola con centro en (h,k) y eje paralelo al eje Y se expresa como sigue:

$\frac{\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}=1$

Y las coordenadas de los focos y vértices son: F₁(h,k-c), F₂(h,k+c), V₁(h,k-a) y V₂(h,k+a).

Ejemplo

Proporcionar la ecuación de la hipérbola con centro C(3,2) y V₁(-1,2). También, se sabe que el semieje conjugado es igual a 3. Además, determinar el lado recto, la distancia focal, las coordenadas de los focos y del vértice V₂.

Solución:

De las coordenadas del centro y del vértice, se sabe que el eje focal de la hipérbola es paralelo al eje X. El semieje transverso a es igual a 4, dado que la distancia entre el centro y el vértice es igual a 4. Del enunciado se tiene que el semieje conjugado b es igual a 3. Dada esta información, la ecuación de la hipérbola tiene la forma:

$\frac{\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}-\frac{\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}=1$

Si C(3,2), a=4 y b=3, se tiene:

$\frac{\left(x-3\right)^{2}}{4^{2}}-\frac{\left(y-2\right)^{2}}{3^{2}}=1$

$\frac{\left(x-3\right)^{2}}{16}-\frac{\left(y-2\right)^{2}}{9}=1$

Para calcular la distancia focal se tiene:

$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

$c=\sqrt{4^{2}+3^{2}}$

$c=\sqrt{16+9}$

$c=\sqrt{25}$

$c=5$

En general, las coordenadas de los focos son F₁(h-c,k) y F₂(h+c,k), entonces, se tiene que F₁(3-5,2) y F₂(3+5,2), finalmente, F₁(-2,2) y F₂(8,2).

De manera similar, se sabe que a=4 y las coordenadas de los vértices son V₁(h-a,k) y V₂(h+a,k), entonces, se tiene que V₁(3-4,2) y V₂(3+4,2), por último, V₁(-1,2) y V₂(7,2). De hecho, en el caso de V₁ solamente se ha confirmado la información del enunciado.

El lado recto se calcula como:

$LR=\frac{2b^{2}}{a}$