Distancia entre dos puntos, geometría analítica, fórmula

Se explica la relación entre el teorema de Pitágoras y la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos en el mimo plano, se proporciona un ejemplo, después, se presenta la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos en el espacio y se proporciona un ejemplo.

Índice

Distancia entre dos puntos en el mismo plano
Distancia entre dos puntos en el espacio

Distancia entre dos puntos en el mismo plano

El segmento que une a dos puntos corresponde a la distancia entre ambos puntos. Se definen dos puntos P₁(x₁,y₁) y P₂(x₂,y₂), la distancia d entre estos dos puntos se calcula con la siguiente fórmula:

$d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

La siguiente imagen ilustra que la fórmula se determina a partir del teorema de Pitágoras que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

En este caso, la hipotenusa es la distancia entre los puntos P₁ y P₂, y los catetos se calculan como x₂-x₁ y y₂-y₁, respectivamente.

Ejemplo:

Calcular la distancia entre los puntos (-3,-4) y (5,2).

Solución:

Se tienen los puntos P₁(-3,-4) y P₂(5,2), entonces, se evalúa la fórmula para los valores conocidos de las coordenadas:

$d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

$d=\sqrt{\left(5-\left(-3\right)\right)^{2}+\left(2-\left(-4\right)\right)^{2}}$

Se calculan las diferencias entre las coordenadas:

$d=\sqrt{\left(8\right)^{2}+\left(6\right)^{2}}$

Se calculan los cuadrados:

$d=\sqrt{64+36}$

Se calcula la suma en el radicando:

$d=\sqrt{100}$

La raíz cuadrada de 100 es igual a 10:

$d=10$

Entonces, la distancia entre los puntos es igual a 10.

Distancia entre dos puntos en el espacio

La fórmula hallada se puede generalizar para determinar la distancia d entre dos puntos P₁(x₁,y₁,z₁) y P₂(x₂,y₂,z₂) en el espacio.

$d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}$

Ejemplo:

Determinar la distancia entre los puntos (3,-1,-2) y (2,5,7).

Solución:

Se evalúa la fórmula para las coordenadas de los puntos P₁(3,-1,-2) y P₂(2,5,7):

$d=\sqrt{\left(2-3\right)^{2}+\left(5-\left(-1\right)\right)^{2}+\left(7-\left(-2\right)\right)^{2}}$

Se realizan las restas dentro de los paréntesis:

$d=\sqrt{\left(-1\right)^{2}+\left(6\right)^{2}+\left(9\right)^{2}}$

Se calculan los cuadrados:

$d=\sqrt{1+36+81}$

Se calcula la suma en el radicando:

$d=\sqrt{118}$

Se calcula la raíz cuadrada:

$d=10.9$

La distancia entre los puntos P₁(3,-1,-2) y P₂(2,5,7) es igual a 10.9.

Temas relacionados con la línea recta (geometría analítica):

Cómo citar

Editor. (03 diciembre 2023). Distancia entre dos puntos, geometría analítica, fórmula. Celeberrima.com. Última actualización el 03 diciembre 2023.