Cómo saber si una ecuación es una circunferencia

Se explica la manera de determinar si una ecuación corresponde a la ecuación general de una circunferencia. Se presentan tres casos: cuando una ecuación dada no representa ningún lugar geométrico, cuando la ecuación representa una circunferencia y cuando la ecuación que se proporciona representa un punto.

Índice

Introducción
La ecuación no representa ningún lugar geométrico
La ecuación representa una circunferencia
La ecuación representa un punto

Introducción

De la ecuación $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$ se tiene que:

No representa ningún lugar geométrico si $D^{2}+E^{2}-4F<0$
Representa un punto si $D^{2}+E^{2}-4F=0$ , las coordenadas del punto son $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$
Corresponde a una circunferencia si $D^{2}+E^{2}-4F>0$ , las coordenadas del centro de la circunferencia son:

$C\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$

Y el radio de la circunferencia es:

$r=\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}$

La ecuación no representa ningún lugar geométrico

Ejemplo:

Determinar si la ecuación $x^{2}+y^{2}-2x+3y+4=0$ corresponde a una circunferencia y, si lo es, proporcionar las coordenadas del centro de la circunferencia, su radio y su ecuación ordinaria.

Solución:

Entonces, se tiene que D=-2, E=3 y F=4:

$D^{2}+E^{2}-4F=\left(-2\right)^{2}+3^{2}-4\left(4\right)$

Se calculan los cuadrados y se multiplican los factores del último término:

$D^{2}+E^{2}-4F=4+9-16$

Se suman 4 y 9:

$D^{2}+E^{2}-4F=13-16$

Se calcula la diferencia:

$D^{2}+E^{2}-4F=-3<0$

Entonces, la ecuación no representa ningún lugar geométrico.

Para entender porqué la ecuación representa un punto se completan cuadrados de la misma manera que se hace para determinar la ecuación ordinaria:

$x^{2}+y^{2}-2x+3y+4=0$

Al completar cuadrados y balancear la ecuación se tiene:

$x^{2}-2x+1+y^{2}+3y+\frac{9}{4}+4-1-\frac{9}{4}=0$

Se factorizan $x^{2}-2x+1$ y $y^{2}+3y+\frac{9}{4}$ para tener que:

$\left(x-1\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}+4-1-\frac{9}{4}=0$

Luego, se tiene 4 menos 1 menos 9/4:

$\left(x-1\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{16}{4}-\frac{4}{4}-\frac{9}{4}=0$

$\left(x-1\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{16}{4}-\frac{13}{4}=0$

$\left(x-1\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}=0$

Se restan tres cuartos en ambos lados de la igualdad:

$\left(x-1\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$

La ecuación ordinaria de la circunferencia tiene la forma:

$\left(x-h\right)^{2}+\left(y-k\right)^{2}=r^{2}$

Entonces, en este caso, el cuadrado del radio es igual a menos tres cuartos:

$r^{2}=-\frac{3}{4}$

Ningún número real elevado al cuadrado da como resultado un número negativo, entonces, la ecuación no representa ningún lugar geométrico.

La ecuación representa una circunferencia

Ejemplo:

Determinar si la ecuación $x^{2}+y^{2}+4x-5y-10=0$ corresponde a una circunferencia y, si lo es, proporcionar las coordenadas del centro de la circunferencia, su radio y su ecuación ordinaria.

Solución:

Entonces, se tiene que D=4, E=-5 y F=-10:

$D^{2}+E^{2}-4F=\left(4\right)^{2}+\left(-5\right)^{2}-4\left(-10\right)$

Se calculan los cuadrados y se multiplican los factores del último término:

$D^{2}+E^{2}-4F=16+25+40$

Se suma:

$D^{2}+E^{2}-4F=81>0$

Luego, la ecuación corresponde a la ecuación general de una circunferencia, para calcular las coordenadas del centro se tiene que:

$C\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$

$C\left(-\frac{4}{2},-\frac{-5}{2}\right)$

Se calculan los cocientes:

$C\left(-2,\frac{5}{2}\right)$

El radio de la circunferencia se calcula de la siguiente manera:

$r=\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}$

Se sabe que $D^{2}+E^{2}-4F=81$ , entonces:

$r=\frac{1}{2}\sqrt{81}$

La raíz cuadrada de 81 es igual a 9:

$r=\frac{9}{2}$

El radio de la circunferencia es igual a nueve medios.

La ecuación ordinaria de la circunferencia tiene la forma:

$\left(x-h\right)^{2}+\left(y-k\right)^{2}=r^{2}$

Se ha determinado que h=-2, k=5/2 y r=9/2, entonces, la ecuación ordinaria de la circunferencia es la siguiente:

$\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$

Se simplifica para, finalmente, obtener la ecuación ordinaria de la circunferencia:

$\left(x+2\right)^{2}+\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$

La ecuación representa un punto

Ejemplo:

Determinar si la ecuación $x^{2}+y^{2}-6x-8y+25=0$ corresponde a una circunferencia y, si lo es, proporcionar las coordenadas del centro de la circunferencia, su radio y su ecuación ordinaria.