Calcular el ángulo entre dos rectas, geometría analítica

Se proporciona la fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas L₁ y L₂ dado que se conocen las pendientes de ambas rectas, se explica un ejemplo en el que se solicita determinar el ángulo entre dos rectas dadas sus pendientes y, en un segundo ejemplo, se pide determinar la pendiente de una de las rectas dada la otra pendiente y el ángulo entre las rectas.

Se comienza definiendo L₁ y L₂ como dos rectas con pendientes m₁ y m₂, respectivamente. El ángulo entre L₁ y L₂ se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj y desde L₁ a L₂. La fórmula para calcular el ángulo entre L₁ y L₂ es la siguiente:

$\alpha=\arctan\left(\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}\right)$

De donde se tiene que:

$\tan\alpha=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}$

Ejemplo:

¿Cuál es el ángulo entre L₁ y L₂ si se sabe que m₁=2 y m₂=5?

Solución:

Se conoce la fórmula para calcular al ángulo entre dos rectas dadas sus pendientes:

$\alpha=\arctan\left(\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}\right)$

Luego, se evalúa para m₁=2 y m₂=5:

$\alpha=\arctan\left(\frac{5-2}{1+\left(2\times5\right)}\right)$

Se realizan los cálculos en el numerador y en el denominador:

$\alpha=\arctan\left(\frac{3}{11}\right)$

Por último, se tiene el valor del ángulo entre las dos rectas:

$\alpha=15^{o}15'18.43''$

Ejemplo:

Proporcionar el valor de la pendiente de la recta L₂ dado que m₁=3 y el ángulo entre L₁ y L₂ es igual a 45^o.

Solución:

Se despeja m₂ de la ecuación:

$\tan\alpha=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}$

Se multiplican ambos miembros por el denominador del miembro derecho:

$\tan\alpha\left(1+m_{1}m_{2}\right)=m_{2}-m_{1}$

Se aplica la propiedad distributiva en el miembro izquierdo:

$\tan\alpha+m_{1}m_{2}\tan\alpha=m_{2}-m_{1}$

Los términos que contiene m₂ se agrupan en el miembro izquierdo, el resto se escribe en el miembro derecho:

$m_{2}-m_{1}m_{2}\tan\alpha=\tan\alpha+m_{1}$

Se factoriza m₂:

$m_{2}\left(1-m_{1}\tan\alpha\right)=\tan\alpha+m_{1}$

Se dividen ambos miembros entre $1-m_{1}\tan\alpha$ para tener que:

$m_{2}=\frac{\tan\alpha+m_{1}}{1-m_{1}\tan\alpha}$

La fórmula obtenida se evalúa para los valores conocidos de m₁ y el ángulo de inclinación:

$m_{2}=\frac{\tan45^{\circ}+3}{1-3\tan45^{\circ}}$

Se sabe que la tangente de 45^o es igual a 1, luego, se simplifica:

$m_{2}=\frac{1+3}{1-3}$

Se simplifican en el numerador y denominador:

$m_{2}=\frac{4}{-2}$

Por último, se calcula el cociente:

$m_{2}=-2$

Entonces, la pendiente de L₂ es igual a -2.

Temas relacionados con la línea recta (geometría analítica):

Cómo citar

Editor. (07 diciembre 2023). Calcular el ángulo entre dos rectas, geometría analítica. Celeberrima.com. Última actualización el 07 diciembre 2023.