Ecuaciones cuadráticas – qué son, ejemplos, cómo resolver

Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones de segundo grado, existen varios métodos para resolver una ecuación cuadrática: propiedad del producto cero, propiedad de la raíz cuadrada, completar el cuadrado y con la fórmula general de ecuaciones de segundo grado.

Índice

Qué son las ecuaciones cuadráticas
Cómo resolver una ecuación cuadrática
Comprobar las soluciones de una ecuación cuadrática

Qué son las ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática se define de la siguiente manera:

Sean a, b y c números reales, además, a es diferente de cero, entonces, una ecuación cuadrática se expresa como:

$ax^{2}+bx+c=0$

Ejemplos:

$x^{2}+4x+4=0$
$x^{2}-4x+4=0$
$x^{2}+8x=0$
$3x^{2}-18=0$

Cómo resolver una ecuación cuadrática

Existen varios caminos para resolver una ecuación cuadrática, en esta sección se muestran las siguientes: la propiedad del producto cero, la propiedad de la raíz cuadrada, completar el cuadrado y la fórmula general de ecuaciones de segundo grado.

Propiedad del producto cero

La propiedad del producto cero establece que si, $pq=0$ , entonces, $p=0$ o $q=0$ .

Para resolver una ecuación cuadrática utilizando la propiedad del producto cero, se escriben todos los términos del lado izquierdo de la igualdad y se factoriza.

Ejemplo:

$x^{2}=-8x$

Se suma 8x en ambos miembros de la ecuación:

$x^{2}+8x=0$

Ahora se factoriza el miembro izquierdo de la ecuación:

$x\left(x+8\right)=0$

Se aplica la propiedad del producto cero, es decir, para que el producto del lado izquierdo sea igual a cero, se necesita que uno u otro factor sea igual a cero, porque cualquier cantidad por cero es igual a cero. Entonces, cada factor en el miembro izquierdo de la ecuación se iguala a cero y se resuelve la ecuación de primer grado:

Primer factor:

$x=0$

Esta es la primera raíz: $x_ {1}=0$ .

Segundo factor:

$x+8=0$

Se resta 8 en ambos miembros:

$x=-8$

Se tiene la segunda raíz: $x_{2}=-8$ .

El conjunto solución es $\{0, -8\}$ .

Ejemplo:

$x^{2}-3x=18$

Se resta 18 en ambos miembros de la ecuación:

$x^{2}-3x-18=0$

Se factoriza el lado izquierdo:

$\left(x+3\right)\left(x-6\right)=0$

Se aplica la propiedad del producto:

Primer factor:

$x+3=0$

$x_{1}=-3$

Segundo factor:

$x-6=0$

$x_{2}=6$

El conjunto solución es $\{-3, 6\}$ .

Propiedad de la raíz cuadrada

La propiedad de la raíz cuadrada establece que si $x^{2}=k$ , entonces, $x=\pm\sqrt{k}$ y el conjunto solución es $\{\sqrt{k}, -\sqrt{k}\}$ o, también se puede escribir como $\{\pm\sqrt{k}\}$ .

Esta propiedad es útil para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma:

$x^{2}-c=0$

Primero, se debe escribir el término cuadrático $x^{2}$ en un miembro de la ecuación y el término constante c en el otro miembro, luego se aplica la propiedad de la raíz cuadrada.

Ejemplo:

$x^{2}-49=0$

Se suma 49 en ambos miembros de la ecuación:

$x^{2}=49$

Se aplica la propiedad de la raíz cuadrada:

$x=\pm\sqrt{49}$

La raíz cuadrada de 49 es 7, entonces, las raíces son:

$x_{1}=7$ y $x_{2}=-7$

El conjunto solución es $\{-7, 7\}$ .

Ejemplo:

$\left(x-2\right)^{2}-10=0$

Se suma 10 en ambos miembros de la ecuación:

$\left(x-2\right)^{2}=10$

Se aplica la propiedad de la raíz cuadrada:

$x-2=\pm\sqrt{10}$

Se suma 2 en ambos lados de la igualdad:

$x=2\pm\sqrt{10}$

Las raíces son:

$x_{1}=2+\sqrt{10}$

$x_{2}=2-\sqrt{10}$

El conjunto solución es $\{2\pm\sqrt{10}\}$ .

Completar el cuadrado (Factorización)

Este método consiste en manipular la ecuación cuadrática para escribir un trinomio cuadrado perfecto en un lado de la igualdad, después se factoriza y, finalmente, se aplica la propiedad de la raíz cuadrada.

Ejemplo:

$3x^{2}-5=-2x$

Se suma 2x en ambos lados de la igualdad:

$3x^{2}+2x-5=0$

Se divide entre 3 para que el coeficiente del término cuadrático sea igual a 1:

$x^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}=0$

Se suma cinco tercios en ambos lados de la igualdad:

$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$

Se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal, es decir, el cuadrado de un tercio en ambos miembros de la ecuación para tener un trinomio cuadrado perfecto en el miembro izquierdo:

$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$

El trinomio cuadrado perfecto se factoriza como una suma de cuadrados:

$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$

Se suman y simplifican las fracciones en el miembro derecho de la ecuación:

$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$

Se aplica la propiedad de la raíz cuadrada:

$x+\frac{1}{3}=\pm\sqrt{\frac{16}{9}}$

Se calcula la raíz cuadrada del lado derecho de la igualdad:

$x+\frac{1}{3}=\pm\frac{4}{3}$

Se resta un tercio en ambos miembros de la ecuación:

$x=-\frac{1}{3}\pm\frac{4}{3}$

Las raíces son:

$x_{1}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{3}=\frac{3}{3}=1$

$x_{2}=-\frac{1}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{5}{3}$

El conjunto solución es $\{-\frac{5}{3}, 1\}$ .

Fórmula general de ecuaciones de segundo grado

Otra manera de resolver ecuaciones cuadráticas es utilizar la fórmula general. Si se considera la ecuación cuadrática $ax^{2}+bx+c=0$ , entonces, la fórmula general es la siguiente:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$