Discriminante de una ecuación cuadrática, fórmula, ejemplos

El valor del discriminante de una ecuación cuadrática indica el número y tipo de soluciones de la ecuación. Existen tres casos, cuando el discriminante es mayor que cero se tienen dos soluciones reales, cuando el discriminante es igual a cero se tiene una solución real y cuando el discriminante es menor que cero se tienen dos soluciones no reales.

Qué es el discriminante

El valor del discriminante indica el número y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática. Hay que recordar que una ecuación cuadrática se escribe como $ax^{2}+bx+x=0$ y el coeficiente a del término cuadrático es diferente de cero.

La fórmula general para ecuaciones cuadráticas es:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Y la cantidad dentro del radical, es decir, el radicando, se conoce como discriminante:

$b^{2}-4ac$

Tipo de raíces según el discriminante

El valor del discriminante indica la cantidad y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática, existen tres casos que se explican a continuación.

Discriminante mayor que cero: Dos soluciones reales

Si el discriminante resulta mayor que cero, entonces, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales, esto es:

$b^{2}-4ac>0$

Ejemplo:

$x^{2}-10x+9=0$

Se sustituyen los coeficientes de la ecuación cuadrática en la fórmula del discriminante:

$\left(-10\right)^{2}-4\left(1\right)\left(9\right)$

Se realizan las operaciones:

$\left(-10\right)^{2}-4\left(1\right)\left(9\right)=100-36$

$\left(-10\right)^{2}-4\left(1\right)\left(9\right)=64$

El valor del discriminante es igual a 64, cantidad que es mayor que cero, entonces, la ecuación tiene dos soluciones reales. Las soluciones se pueden encontrar utilizando la fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Se sustituyen los coeficientes de la ecuación cuadrática en la fórmula:

$x=\frac{-\left(-10\right)\pm\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(1\right)\left(9\right)}}{2\left(1\right)}$

Se realizan operaciones:

$x=\frac{10\pm\sqrt{100-36}}{2}$

Se calcula la resta dentro del radical:

$x=\frac{10\pm\sqrt{64}}{2}$

Se calcula la raíz cuadrada de 64:

$x=\frac{10\pm8}{2}$

Las soluciones son las siguientes:

$x_{1}=\frac{10+8}{2}=\frac{18}{2}=9$

$x_{2}=\frac{10-8}{2}=\frac{2}{2}=1$

El conjunto solución es $\{1,9\}$ , tal y como el valor del discriminante indicó, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales. Para comprobar las soluciones se sustituyen en la ecuación original, si la igualdad se cumple, entonces, los valores encontrandos son soluciones de la ecuación.

Discriminante igual a cero: Una solución real

Si el discriminante resulta igual a cero, entonces, la ecuación cuadrática tiene una solución real, esto es:

$b^{2}-4ac=0$

Ejemplo:

$x^{2}+10x+25=0$

Se sustituyen los coeficientes de la ecuación cuadrática en la fórmula del discriminante:

$\left(10\right)^{2}-4\left(1\right)\left(25\right)$

Se realizan las operaciones:

$\left(10\right)^{2}-4\left(1\right)\left(25\right)=100-100$

$\left(10\right)^{2}-4\left(1\right)\left(25\right)=0$

El valor del discriminante es igual a 0, entonces, la ecuación tiene una solución real.

La solución se pueden encontrar utilizando la fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Se sustituyen los coeficientes de la ecuación cuadrática en la fórmula:

$x=\frac{-10\pm\sqrt{10^{2}-4\left(1\right)\left(25\right)}}{2\left(1\right)}$

Se realizan operaciones:

$x=\frac{-10\pm\sqrt{100-100}}{2}$

Se calcula la resta dentro del radical:

$x=\frac{-10\pm\sqrt{0}}{2}$

La raíz cuadrada de cero es cero:

$x=\frac{-10\pm0}{2}$

Las soluciones son las siguientes:

$x_{1}=\frac{-10+0}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

$x_{2}=\frac{-10-0}{2}=\frac{-10}{2}=-5$

En este caso, se tiene una solución real igual a -5. Al factorizar se tiene:

$x^{2}+10x+25=\left(x+5\right)\left(x+5\right)$

Al aplicar la propiedad del producto cero, se encuentra que $x_{1}=x_{2}=-5$ . Tal y como el valor del discriminante indicó, la ecuación cuadrática tiene una solución real que se puede comprobar al sustituirla en la ecuación original.