Ecuaciones con radicales, qué son, ejemplos, cómo resolver

Las ecuaciones radicales son aquellas con uno o más radicales que contienen la variable. Para resolver una ecuación radical se despeja el radical y se elevan ambos miembros de la ecuación a una potencia igual al índice del radical, después, se resuelve la ecuación que resulta con las propiedades pertinentes.

Qué son las ecuaciones radicales

Una ecuación radical es aquella con uno o más radicales que contienen a la variable, es decir, la variable es parte del radicando. Por ejemplo:

$\sqrt{x+1}=2$

$\sqrt{x}=36$

$\sqrt{x+11}-8=16$

Resolver ecuaciones con un radical

Ejemplo:

$\sqrt{x+5}-3=x$

Se suma 3 en ambos lados de la ecuación:

$\sqrt{x+5}=x+3$

Se elevan ambos miembros de la ecuación al cuadrado:

$x+5=\left(x+3\right)^{2}$

Se desarrolla el producto en el miembro derecho de la ecuación:

$x+5=x^{2}+6x+9$

Se resta x y 5 en ambos miembros de la ecuación:

$x^{2}+5x+4=0$

Se factoriza:

$\left(x+1\right)\left(x+4\right)=0$

Se aplica la propiedad del producto para encontrar las soluciones:

Si $x+1=0$ , entonces, $x_{1}=-1$ .

Si $x+4=0$ , entonces, $x_{2}=-4$ .

Antes de enunciar el conjunto solución es necesario comprobar las soluciones sustituyendo en la ecuación original.

Se sustituye $x_{1}=-1$ en la ecuación original:

$\sqrt{x+5}-3=x$

$\sqrt{-1+5}-3=-1$

Se realizan las operaciones:

$\sqrt{4}=2$

$2=2$

La solución $x_{1}=-1$ se ha comprobado puesto que se cumple la igualdad.

Ahora, se sustituye $x_{2}=-4$ en la ecuación original:

$\sqrt{x+5}-3=x$

$\sqrt{-4+5}-3=-4$

Se realizan las operaciones:

$\sqrt{1}=-1$

$1\neq-1$

La solución $x_{2}=-4$ es una solución extraña, es decir, resulta falsa y no satisface la ecuación original.

El conjunto solución es $\{-1\}$ .

Soluciones extrañas

Es importante comprobar las soluciones obtenidas, pues al elevar ambos miembros de una ecuación radical a una potencia igual al índice del radical, es posible que se encuentren soluciones que no satisfacen la ecuación original, por lo tanto, no son soluciones de la misma, y se les llama soluciones extrañas.

Si se considera la ecuación $\sqrt{x}=-2$ se determina, por simple inspección, que no tiene solución: la raíz cuadrada de un número real cualquiera (x) no puede ser negativa. La solución extraña aparece cuando se eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación:

$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(-2\right)^{2}$

$x=4$

Pero al sustituir en la ecuación original, se obtiene una solución extraña

$\sqrt{x}=-2$

$\sqrt{4}=-2$

$2\neq-2$

Resolver ecuaciones con dos radicales

Ejemplo:

$\sqrt{x-1}-\sqrt{3x+1}+2=0$

Primero, se escribe una ecuación equivalente de manera que un radical aparezca solo en un miembro de la ecuación:

$\sqrt{x-1}=\sqrt{3x+1}-2$

Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación:

$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{3x+1}-2\right)^{2}$

$x-1=3x+1-4\sqrt{3x+1}+4$

Todavía aparece un radical en la ecuación, entonces, se repite el proceso, se escribe una ecuación equivalente de modo que el radical aparezca solo en un miembro de la ecuación:

$4\sqrt{3x+1}=2x+6$