Desigualdades con valor absoluto, propiedades, solución

Se explican las propiedades de las desigualdades con valor absoluto, cómo resolver las desigualdades con valor absoluto y algunos casos especiales de las desigualdades con valor absoluto.

Índice

Propiedades de las desigualdades con valor absoluto
Resolver desigualdades con valor absoluto
Casos especiales desigualdades con valor absoluto

Propiedades de las desigualdades con valor absoluto

Si k es un número real mayor de cero, se tiene que:

$\mid a \mid<k$ es equivalente a $-k<a<k$
$\mid a \mid>k$ es equivalente a $a<-k~o~a>k$

Ambas propiedades son válidas para los casos mayor o igual que $\left(\geq\right)$ y menor o igual que $\left(\leq\right)$ .

Resolver desigualdades con valor absoluto

Ejemplo:

$7\mid 3-x \mid-5<2$

Se suma 5 en ambos lados de la desigualdad:

$7\mid 3-x \mid<7$

Se dividen ambos lados de la desigualdad entre 7:

$\mid 3-x \mid<1$

Se aplica la propiedad que establece que $\mid a \mid<k$ es equivalente a $-k<a<k$ :

$-1<3-x<1$

Ahora, se resta 3 en las tres partes de la desigualdad:

$-4<-x<-2$

Se dividen las tres partes de la desigualdad entre -1:

$4>x>2$

Lo que se escribe de manera equivalente como:

$2<x<4$

El conjunto solución de la desigualdad con valor absoluto se expresa con notación de conjuntos como $\{x\mid2<x<4\}$ o, alternativamente, con notación de intervalos como $\left(2,4\right)$ .

Ejemplo:

$-5\mid x+3\mid\leq-15$

Se dividen ambos lados de la igualdad entre -5:

$\mid x+3\mid\geq3$

Se aplica la propiedad que establece que $\mid a \mid>k$ es equivalente a $a<-k~o~a>k$ :

$x+3\leq-3~o~x+3\geq3$

Primero, se resuelve para $x+3\leq-3$ , entonces, se resta 3 en ambos lados de la desigualdad:

$x\leq-6$

Ahora, se resuelve para $x+3\geq3$ , entonces, se resta 3 en ambos lados de la desigualdad:

$x\geq0$

El conjunto solución se expresa con notación de conjuntos como $\{x\mid x\leq-6~o~x\geq0\}$ , el conjunto solución también se puede escribir con notación de intervalos como $\left(-\infty,-6\right]\cup\left[0,\infty\right)$ .

Casos especiales desigualdades con valor absoluto

Caso I: El valor absoluto de una expresión no puede ser menor de cero. Por definición, el valor absoluto es mayor o igual a cero. Por ejemplo, la siguiente expresión no tiene solución:

$\mid x+1\mid<-7$

Entonces, el conjunto solución es el conjunto vacío $\{~\}$ .

Caso II: Por definición, el valor absoluto de una expresión es, siempre, mayor o igual a cero. Por ejemplo, la siguiente expresión es válida para cualquier valor real de x:

$\mid x+1\mid\geq-7$

El conjunto solución es el conjunto de los números reales que se expresa con notación de intervalos como $\left(-\infty,\infty\right)$ .

Caso III: El valor absoluto de una expresión de la forma x-a no puede ser menor que cero, pero puede ser igual a cero. Por ejemplo:

$\mid x-1\mid\leq0$

Se reescribe como:

$\mid x-1\mid=0$

$x-1=0$

Se suma 1 en ambos lados de la igualdad:

$x=1$

Entonces, el conjunto solución es $\{1\}$ .

Caso IV: El valor absoluto de una expresión de la forma x-a es mayor que cero para cualquier valor real de x excepto para x=a. Por ejemplo:

$\mid x-1\mid>0$

Si x=1, entonces, el lado izquierdo de la desigualdad es cero y la desigualdad no se cumple. Así, el conjunto solución es $\{x\mid x<1~o~x>1\}$ , lo que en notación de intervalos se expresa como $\left(-\infty,1\right)\cup\left(1,\infty\right)$ .

Temas relacionados con desigualdades lineales:

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Propiedades de las desigualdades con valor absoluto

Resolver desigualdades con valor absoluto

Casos especiales desigualdades con valor absoluto

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