Desigualdades lineales, qué son, cómo resolver, ejemplos

Las desigualdades lineales son relaciones del tipo «menor que», «mayor que», «menor o igual que» y «mayor o igual que». Las propiedades de la desigualdad son útiles para resolver una desigualdad lineal. El conjunto solución de una desigualdad se puede expresar con notación de conjuntos y con notación de intervalos.

Índice

Qué es una desigualdad lineal
Resolver una desigualdad lineal
Resolver una desigualdad lineal con fracciones

Qué es una desigualdad lineal

Una desigualdad lineal es una relación de la forma:

$ax+b<0$ , el signo $<$ se lee «menor que».
$ax+b>0$ , el signo $>$ se lee «mayor que».
$ax+b\leq0$ , el signo $\leq$ se lee «menor o igual que».
$ax+b\geq0$ , el signo $\geq$ se lee «mayor o igual que».

Resolver una desigualdad lineal

Ejemplo:

Se considera la siguiente desigualdad:

$-4x+3<15$

Se resta 3 en ambos lados de la desigualdad:

$-4x+3-3<15-3$

$-4x<12$

Se dividen ambos lados entre -4, como el divisor es negativo se invierte el sentido de la desigualdad:

$x>-3$

El conjunto solución se puede expresar con notación de conjuntos o con notación de intervalos:

Notación de conjuntos: $\{x\mid x>-3\}$

Notación de intervalos: $\left(-3,\infty\right)$

Es decir que, cualquier valor de x mayor que -3 hacen que la desigualdad sea verdadera.

Comprobación:

Se sustituye cualquier valor de x mayor que -3 en la desigualdad original:

$-4x+3<15$

Si $x=2$ , se tiene que:

$-4\left(2\right)+3<15$

Se realizan operaciones:

$-8+3<15$

$-5<15$

Resulta verdadero que -5 es menor que 15.

Resolver una desigualdad lineal con fracciones

Ejemplo:

Se considera la siguiente desigualdad:

$\frac{x-4}{2}-\frac{x+1}{3}\leq-\frac{x}{6}$

Se multiplican ambos lados de la desigualdad por el mínimo común denominador (mcd) que es igual a 6:

$6\left(\frac{x-4}{2}-\frac{x+1}{3}\right)\leq6\left(-\frac{x}{6}\right)$

Se aplica la propiedad distributiva del lado izquierdo de la desigualdad y se multiplica del lado derecho de la desigualdad:

$3x-12-2x-2\leq-x$

Se reducen términos semejantes del lado izquierdo de la desigualdad:

$x-14\leq-x$

Se suma x en ambos lados de la desigualdad:

$2x-14\leq0$

Se suma 14 en ambos lados de la desigualdad:

$2x\leq14$

Se dividen ambos lados de la desigualdad entre 2:

$x\leq7$

El conjunto solución se expresa con notación de conjuntos $\{x\mid x\leq7\}$ o con notación de intervalos $\left(-\infty,7\right]$ . Entonces, cualquier valor de x menor o igual a 7 satisface la desigualdad.