Racionalización del denominador

El proceso de racionalización consiste en eliminar los radicales que aparezcan en el denominador. En uno de los posibles casos el denominador consta de un solo término, en el otro caso, el denominador consta de dos términos. En ambos casos, es posible eliminar los signos radicales del denominador.

Índice

Qué es la racionalización
Racionalización del denominador cuando consta de un término
Racionalizar el denominador cuando consta de dos términos con radicales de segundo grado

Qué es la racionalización

Se dice que se racionaliza el denominador de una fracción cuando una fracción con signo radical en el denominador se convierte en una fracción equivalente con denominador racional. Se ha racionalizado cuando no aparece signo radical en el denominador.

Racionalización del denominador cuando consta de un término

En este caso, se multiplican numerador y denominador por un radical del mismo índice que el del denominador, de tal manera que, el producto en el denominador dé como resultado una cantidad racional.

Si se desea racionalizar la siguiente expresión:

$\frac{a}{\sqrt[n]{b^{m}}}$

Entonces, se debe multiplicar numerador y denominador por:

$\sqrt[n]{b^{n-m}}$

Ejemplo:

$\frac{7}{\sqrt{x}}$

Entonces, se multiplica el numerador y el denominador por $\sqrt{x}$ :

$\frac{7}{\sqrt{x}}=\frac{7}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Al realizar las multiplicaciones, se tiene que:

$\frac{7}{\sqrt{x}}=\frac{7\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x}}$

Se aplica la propiedad del producto de radicales en el denominador:

$\frac{7}{\sqrt{x}}=\frac{7\sqrt{x}}{\sqrt{x\cdot x}}$

Se aplica la propiedad del producto de varias potencias de una misma base en el denominador:

$\frac{7}{\sqrt{x}}=\frac{7\sqrt{x}}{\sqrt{x^{2}}}$

Si x es un número mayor o igual a cero, entonces, el denominador es igual a x:

$\frac{7}{\sqrt{x}}=\frac{7\sqrt{x}}{x}$

De este modo, se ha racionalizado la expresión.

Ejemplo:

$\frac{3}{\sqrt[5]{x^{2}}}$

En este caso, se multiplica el numerador y el denominador por $\sqrt[5]{x^{3}}$ :

$\frac{3}{\sqrt[5]{x^{2}}}=\frac{3}{\sqrt[5]{x^{2}}}\cdot\frac{\sqrt[5]{x^{3}}}{\sqrt[5]{x^{3}}}$

Se multiplica y se tiene que:

$\frac{3}{\sqrt[5]{x^{2}}}=\frac{3\sqrt[5]{x^{3}}}{\sqrt[5]{x^{2}}\sqrt[5]{x^{3}}}$

En el denominador, se aplica la propiedad del producto de radicales y, en seguida, se aplica la propiedad del producto de varias potencias de una misma base:

$\frac{3}{\sqrt[5]{x^{2}}}=\frac{3\sqrt[5]{x^{3}}}{\sqrt[5]{x^{5}}}$

Dado que el índice del radical en el denominador es impar, se tiene que:

$\frac{3}{\sqrt[5]{x^{2}}}=\frac{3\sqrt[5]{x^{3}}}{x}$

Así, la expresión ha sido racionalizada.

Ejemplo:

$\frac{y}{\sqrt[7]{2x^{2}z^{4}}}$

Para racionalizar la expresión, el numerador y el denominador se multiplican por $\sqrt[7]{2^{6}x^{5}z^{3}}$ :

$\frac{y}{\sqrt[7]{2x^{2}z^{4}}}=\frac{y}{\sqrt[7]{2x^{2}z^{4}}}\cdot\frac{\sqrt[7]{2^{6}x^{5}z^{3}}}{\sqrt[7]{2^{6}x^{5}z^{3}}}$

Lo que es igual a:

$\frac{y}{\sqrt[7]{2x^{2}z^{4}}}=\frac{y\sqrt[7]{2^{6}x^{5}z^{3}}}{\sqrt[7]{2x^{2}z^{4}}\sqrt[7]{2^{6}x^{5}z^{3}}}$

En el denominador, se aplica la propiedad del producto de radicales y, en seguida, se aplica la propiedad del producto de varias potencias de una misma base:

$\frac{y}{\sqrt[7]{2x^{2}z^{4}}}=\frac{y\sqrt[7]{64x^{5}z^{3}}}{2xz}$

Racionalizar el denominador cuando consta de dos términos con radicales de segundo grado

En este caso, se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Ejemplo:

$\frac{5}{\sqrt{3}-1}$

El conjugado del denominador es $\sqrt{3}+1$ , entonces, se multiplica numerador y denominador:

$\frac{5}{\sqrt{3}-1}=\frac{5}{\sqrt{3}-1}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$

Lo que es equivalente a:

$\frac{5}{\sqrt{3}-1}=\frac{5\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}$

Luego, se desarrollan las multiplicaciones:

$\frac{5}{\sqrt{3}-1}=\frac{5\left(\sqrt{3}+1\right)}{\sqrt{3}\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1}$

Se simplifica el denominador:

$\frac{5}{\sqrt{3}-1}=\frac{5\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}$

$\frac{5}{\sqrt{3}-1}=\frac{5\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}$

Finalmente, la expresión ha sido racionalizada.

Ejemplo:

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}$

Se agrupan dos términos en el denominador:

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)-\sqrt{2}}$

El conjugado del denominador es $\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)+\sqrt{2}$ , entonces, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado:

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)-\sqrt{2}}\cdot\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)+\sqrt{2}}$

Al desarrollar las multiplicaciones, término a término, en el numerador se tiene que:

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{3+\sqrt{15}+\sqrt{6}-\sqrt{15}-5-\sqrt{10}}{\left[\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)-\sqrt{2}\right]\left[\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)+\sqrt{2}\right]}$

El producto de dos conjugados es una diferencia de cuadrados, entonces, escribimos el denominador como:

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{3+\sqrt{15}+\sqrt{6}-\sqrt{15}-5-\sqrt{10}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$

Se simplifica el numerador y se desarrollan los productos en el denominador:

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}-2}{3+2\sqrt{15}+5-2}$

Se simplifica el denominador:

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}-2}{2\sqrt{15}+6}$

Ahora, se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{10}-2\right)\left(2\sqrt{15}-6\right)}{\left(2\sqrt{15}+6\right)\left(2\sqrt{15}-6\right)}$

En el numerador se multiplica término a término y, en el denominador se tiene que el producto de dos conjugados es una diferencia de cuadrados:

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{90}-6\sqrt{6}-2\sqrt{150}+6\sqrt{10}-4\sqrt{15}+12}{\left(2\sqrt{15}\right)^{2}-\left(6\right)^{2}}$

Se simplifican los radicales en el numerador y se realizan las operaciones en el denominador:

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{10}-6\sqrt{6}-10\sqrt{6}+6\sqrt{10}-4\sqrt{15}+12}{24}$

Se suman radicales semejantes en el numerador:

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{10}-16\sqrt{6}-4\sqrt{15}+12}{24}$

Se factoriza 4 en el numerador y denominador para simplificar:

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{10}-4\sqrt{6}-\sqrt{15}+3}{6}$

Finalmente, se ha racionalizado la expresión.

Temas relacionados con los radicales:

Racionalización del denominador – qué es, ejemplos

Índice

Qué es la racionalización

Racionalización del denominador cuando consta de un término

Racionalizar el denominador cuando consta de dos términos con radicales de segundo grado

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