La jerarquía de las operaciones consiste de un conjunto de lineamientos para evaluar las expresiones matemáticas y, así, llegar a un único resultado. En las expresiones matemáticas aparecen símbolos de agrupación, exponentes, radicales, multiplicaciones, divisiones, sumas y restas; todas estas operaciones deben realizarse en un orden establecido por la jerarquía de las operaciones para determinar el resultado correcto.
Índice
- Qué es la jerarquía de las operaciones
- Para qué sirve la jerarquía de las operaciones
- Ejemplos de la jerarquía de las operaciones
Qué es la jerarquía de las operaciones
La jerarquía de las operaciones es un conjunto de reglas que establecen el orden en que se deben realizar las operaciones contenidas en una expresión matemática. Dicho conjunto de reglas consiste en evaluar:
- Todas las operaciones entre signos de agrupación —paréntesis, corchetes y llaves— siguiendo el orden descrito en los siguientes puntos.
- Exponentes y raíces.
- Multiplicaciones y divisiones.
- Sumas y restas.
También, es importante tener en cuenta que cuando en una expresión matemática aparece la barra de fracción se deben evaluar numerador y denominados por separado, después se realiza la división indicada por la barra de fracción.
Las operaciones en un mismo nivel de la jerarquía de operaciones se deben realizar de izquierda a derecha.
Para qué sirve la jerarquía de las operaciones
El orden en que se realizan las operaciones afecta el resultado, para evitar confusiones se recurre a la jerarquía de las operaciones. En el habla contidiana ocurre algo similar, por ejemplo, una coma puede cambiar por completo el sentido de las palabras:
- No, espere.
- No espere.
Si se considerra una expresión matemática como la siguiente:
32÷2×8÷4
Se pueden obtener tres resultados diferentes al no hacer caso de la jerarquía de operaciones.
Primer procedimiento incorrecto:
Se multiplica 2×8=16:
32÷16÷4
Se divide 32÷16=2:
2÷4
Finalmente, el resultado de dividir 2÷4 es un medio o 0.5.
Segundo procedimiento incorrecto:
Se multiplica 2×8=16:
32÷16÷4
Se divide 16÷4=4:
32÷4=8
El resultado después de evaluar la expresión es 8.
Procedimiento correcto:
Para determinar el resultado correcto se debe seguir la jerarquía de las operaciones, el primer punto establece que se deben realizar los cálculos entre signos de agrupación, pero en la expresión que se desea evaluar no hay, entonces, se revisa el segundo punto que indica realizar las operaciones con exponentes y raíces, pero la expresión no tiene ni exponentes ni raíces.
El tercer punto prescribe realizar multiplicaciones y divisiones, es decir, ambas operaciones tienen la misma jerarquía. La expresión matemática que se desea evaluar contiene multiplicaciones y divisiones, luego, deben realizarse de izquierda a derecha según lo establece la jerarquía de operaciones.
Se divide 32÷2=16:
16×8÷4
Se multiplica 8×16=128:
128÷4
Se divide 128÷4=32:
Así, el resultado final es 32. Este resultado es correcto pues se ha calculado siguiendo el orden determinado por la jerarquía de operaciones.
Ejemplos de la jerarquía de las operaciones
En los siguientes ejemplos se evalúan expresiones matemáticas siguiendo el orden descrito por la jerarquía de las operaciones, los primeros ejemplos corresponden a números enteros positivos, la segunda parte presenta ejemplos con números enteros:
Ejemplos números enteros positivos
Ejemplo 1:
4+3×5
No hay signos de agrupación, tampoco hay exponentes ni raíces, entonces, se evaluan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
4+15
Ahora, se realizan las sumas y restas de izquierda a derecha.
19
Ejemplo 2:
1+2×32-4
En la expresión no hay signos de agrupación, pero lo primero que se tiene que calcular son los exponentes y raíces:
1+2×9-4
Luego, se calulan las multiplicaciones y las divisiones:
1+18-4
Finalmente, se determinan las sumas y restas de izquierda a derecha:
19-4=15
Ejemplo 3:
50-5×6+8
Dado que no aparecen signos de agrupación, ni exponentes o raíces, se comienza en el tercer punto de la jerarquía de las operaciones, se realizan multiplicaciones y divisiones:
50-30+8
Luego, se trabaja con sumas y restas de izquierda a derecha:
20+8=28
Ejemplo 4:
20-2(3-1)
En este ejemplo aparecen paréntesis, es decir, un signo de agrupación, según lo indica la jerarquía de operaciones se realizan las operaciones entre los mismos siguiendo el orden que establecen los restantes puntos de la jerarquía de operaciones.
20-2(2)
El paréntesis indica multiplicación aunque dentro no hay operaciones, entonces, se realizan multiplicaciones y divisiones:
20-4
Finalemente, se evalúan sumas y restas:
16
Ejemplo 5:
100÷4-4×3×2
No aparecen signos de agrupación, ni exponentes ni raíces, entonces, se comienza en el tercer punto de la jerarquía de las operaciones, se realizan multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha:
25-4×3×2
25-12×2
25-24
Finalmente, se realizan las sumas y restas:
1
Ejemplo 6:
4+(3+2)2
Según lo que establece la jerarquía de las operaciones se deben hacer las operaciones dentro del paréntesis:
4+(5)2
Después, se evalúan exponentes y raíces:
4+25
Finalmente, se suman las cantidades:
29
Ejemplo 7:
11+3(15-4×3)
Primero, se realizan las operaciones dentro de los paréntesis siguiendo los lineamientos de la jerarquía de las operaciones, es decir, primero se debe multiplicar:
11+3(15-12)
Se opera la resta dentro de los paréntesis:
11+3(3)
Se realiza la multiplicación indicada por el paréntesis:
11+9
Finalmente, se suman las cantidades:
20
Ejemplo 8:
30+2[22-5(6-4)]-1
Aparecen dos signos de agrupación, se debe comenzar con los más internos que son los paréntesis dado que están entre los corchetes.
30+2[22-5(2)]-1
Se realiza la multiplicación dentro de los corchetes:
30+2[22-10]-1
Se evalúa la expresión dentro de los corchetes:
30+2[12]-1
Los corchetes indican multiplicación:
30+24-1
Se suma y resta, según corresponda, de izquierda a derecha:
54-1=53
Ejemplo 9:
Primero, se trabaja con el exponente dentro del paréntesis que aparece en el numerador:
Se realiza la resta dentro del paréntesis en el numerador:
Luego, se realizan las multiplicaciones y divisiones en el numerador, siempre de izquierda a derecha:
Se resta en el numerador:
Ahora, se realizan las multiplicaciones y divisiones en el denominador, recordando que se trabaja primero con las que aparecen a la izquierda:
Finalmente, se realiza la división indicada por la barra de fracción:
Ejemplos números enteros
Ejemplo 10:
-10(-2)2-(-1)
Los paréntesis que aparecen en la expresión matemática solamente indican multiplicación, no hay operaciones entre de ellos, entonces, se comienza evaluando exponentes y raíces:
-10(4)-(-1)
Luego, se multiplica y divide de izquierda a derecha:
-40-(-1)
-40+1
Finalmente, se suma y resta de izquierda a derecha:
-39
Ejemplo 11:
30(2)+(-4)(-2)(-6)-2
No hay operaciones indicadas dentro de los signos de agrupación, tampoco aparecen exponentes ni raíces, se comienza multiplicando y dividiendo:
60+(-4)(-2)(-6)-2
60+(-48)-2
Se suma y resta:
12-2=10
Ejemplo 12:
88÷(-8)5
Solamente aparecen multiplicaciones y divisiones que se deben realizar de izquierda a derecha:
(-11)5
-55
Ejemplo 13:
-52-(-5)2
Primero, se realizan las operaciones con exponentes y raíces:
-25-25
Finalmente, se suma y resta de izquierda a derecha:
-50
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