Ejemplos potencias números complejos forma de Euler o exponencial

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Para elevar un número complejo en su forma de Euler o exponencial a una potencia n debemos elevar el módulo a la n y multiplicar el argumento por n.

Esto lo podemos definir como sigue:

(re^{i\theta})^n=r^ne^{i(n\theta)}

En los siguientes ejemplos se eleva el número z a la potencia n. Los argumentos en los ejemplos se expresan en radianes.

Ejemplo 1:

z=5e^{\frac{i\pi}{90}} y n=3

(z)^3=\left(5e^{\frac{i\pi}{90}}\right)^3

(z)^3=5^3e^{i\left(\frac{3\pi}{90}\right)}

(z)^3=125e^{\frac{i\pi}{30}}

Ejemplo 2:

z=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{12}} y n=2

(z)^2=\left(\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{12}}\right)^2

(z)^2=\sqrt{2}^2e^{i\left(\frac{2\pi}{12}\right)}

(z)^2=2e^{\frac{i\pi}{6}}

Ejemplo 3:

z=2e^{\frac{i\pi}{36}} y n=4

(z)^4=\left(2e^{\frac{i\pi}{36}}\right)^4

(z)^4=2^4e^{i\left(\frac{4\pi}{36}\right)}

(z)^4=16e^{\frac{i\pi}{9}}

Ejemplo 4:

z=3e^{\frac{i\pi}{4}} y n=5

(z)^5=\left(3e^{\frac{i\pi}{4}}\right)^5

(z)^5=3^5e^{i\left(\frac{5\pi}{4}\right)}

(z)^5=243e^{\frac{5i\pi}{4}}

Ejemplo 5:

z=11e^{\frac{5i\pi}{6}} y n=2

(z)^2=\left(11e^{\frac{i\pi}{6}}\right)^2

(z)^2=11^2e^{i\left(\frac{10\pi}{6}\right)}

(z)^2=121e^{\frac{5i\pi}{3}}

Ejemplo 6:

z=4e^{\frac{3i\pi}{4}} y n=2

(z)^2=\left(4e^{\frac{3i\pi}{4}}\right)^2

(z)^2=4^2e^{i\left(\frac{6\pi}{4}\right)}

(z)^2=16e^{\frac{3i\pi}{2}}

Ejemplo 7:

z=3e^{\frac{5i\pi}{9}} y n=3

(z)^3=\left(3e^{\frac{5i\pi}{9}}\right)^3

(z)^3=3^3e^{i\left(\frac{15\pi}{9}\right)}

(z)^3=27e^{\frac{5i\pi}{3}}

Ejemplo 8:

z=3e^{\frac{4i\pi}{9}} y n=4

(z)^4=\left(3e^{\frac{4i\pi}{9}}\right)^4

(z)^4=3^4e^{i\left(\frac{16\pi}{9}\right)}

(z)^4=81e^{\frac{16i\pi}{9}}

Ejemplo 9:

z=2e^{\frac{i\pi}{180}} y n=5

(z)^5=\left(2e^{\frac{i\pi}{180}}\right)^5

(z)^5=2^5e^{i\left(\frac{5\pi}{180}\right)}

(z)^5=32e^{\frac{i\pi}{36}}

Ejemplo 10:

z=\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{12}} y n=6

(z)^6=\left(\sqrt{2}e^{\frac{i\pi}{12}}\right)^6

(z)^6=\sqrt{2}^6e^{i\left(\frac{6\pi}{12}\right)}

(z)^6=8e^{\frac{i\pi}{2}}