Ejemplos números complejos en su forma de Euler o exponencial

, ,

Un número complejo se puede escribir como el producto entre el módulo r y la contante de Euler elevada a la iθ. Es una forma compacta de expresar los números complejos.

El matemático y físico suizo Leonhard Euler estableció la siguiente relación:

e^{i\theta}=cos\hspace{0.2cm}\theta+isen\hspace{0.2cm}\theta

De tal suerte que un número complejo se puede expresar como:

z=r\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\theta=re{i\theta}

En esta última expresión r es el módulo del número complejo y θ es el argumento expresado en radianes.

En los siguientes ejemplos se expresa un número complejo en su forma de Euler o exponencial a partir de su forma polar o trigonométrica.

Ejemplo 1:

z=5\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}45^\circ

z=5e^{i\frac{\pi}{4}}

Ejemplo 2:

z=2\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}135^\circ

z=2e^{i\frac{3\pi}{4}}

Ejemplo 3:

z=8\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}225^\circ

z=8e^{i\frac{5\pi}{4}}

Ejemplo 4:

z=10\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}60^\circ

z=10e^{i\frac{\pi}{3}}

Ejemplo 5:

z=\sqrt{5}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}30^\circ

z=\sqrt{5}\hspace{0.2cm}e^{i\frac{\pi}{6}}

Ejemplo 6:

z=27\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}120^\circ

z=27e^{i\frac{2\pi}{3}}

Ejemplo 7:

z=11\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}150^\circ

z=11e^{i\frac{5\pi}{6}}

Ejemplo 8:

z=\frac{2}{3}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}300^\circ

z=\frac{2}{3}e^{i\frac{5\pi}{3}}

Ejemplo 9:

z=13\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}75^\circ

z=13e^{i\frac{5\pi}{12}}

Ejemplo 10:

z=30\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}285^\circ

z=30e^{i\frac{19\pi}{12}}

La fórmula que se usó para convertir los grados sexagesimales (G) en radianes (R) es la siguiente:

R=\frac{\pi G}{180}