Ejemplos gráfica de ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado corresponde a una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo.

Una función cuadrática se define como $f(x)=ax^2+bx+c$ , para todos los a, b y c que pertenecen a los números reales, a debe ser diferente de cero.

Si a>0, la parábola abre hacia arriba y su vértice es el valor mínimo de la función, es decir, el punto más bajo de la parábola.

Si a<0, la parábola abre hacia abajo y su vértice es el valor máximo de la función, es decir, el punto más alto de la parábola.

Además, estas funciones cuadráticas presentan simetría respecto a un eje de simetría que pasa por el vértice de la parábola, el lado derecho de la curva es idéntico al lado izquierdo de la misma.

Las coordenadas del vértice de la parábola son:

$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$ .

Luego, el eje de simetría se representa como:

$x=-\frac{b}{2a}$ .

La intersección con el eje vertical se puede calcular haciendo $x=0$ .

Finalmente, el discriminante, $b^2-4ac$ , indica el número de intersecciones de la parábola con el eje horizontal:

Si $b^2-4ac>0$ , la parábola presenta dos intersecciones con el eje horizontal.
Si $b^2-4ac=0$ , la parábola presenta una intersección con el eje horizontal.
Si $b^2-4ac<0$ , la parábola no presenta intersecciones con el eje horizontal.

Explicación:

Vamos a graficar la siguiente función cuadrática $y=x^2-2x-8$

Solución:

Sabemos que a=1, por lo tanto, la parábola abre hacia arriba. También, podemos calcular el determinante para conocer el número de intersecciones con el eje horizontal:

$b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-8)$

$b^2-4ac=4+32=36$

$b^2-4ac>0$ , entonces, se tienen dos intersecciones con el eje horizontal.

Estas intersecciones se pueden conocer resolviendo con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Sustituyendo los valores a = 1, b = -2 y c = -8, tenemos:

$x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-8)}}{2(1)}$

$x=\frac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}$

$x=\frac{2\pm\sqrt{36}}{2}$

$x=\frac{2\pm6}{2}$

$x_1=\frac{2+6}{2}=4$

$x_2=\frac{2-6}{2}=-2$

El conjunto solución es {4, -2}.

Calculando las coordenadas del vértice tenemos:

$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$

$(-\frac{-2}{2(1)}, \frac{4(1)(-8)-(-2)^2}{4(1)})$

$(1, \frac{-36}{4})$

$(1, -9)$

Entonces, el vértice de la parábola se encuentra en el punto (1,-9). y el eje de simetría es una recta paralela al eje vertical en la que $x=1$

La intersección con el eje vertical se determina haciendo $x=0$ :

$f(x=0)=x^2-2x-8$

$f(x=0)=(0)^2-2(0)-8$

$f(x=0)=-8$

Entonces, la parábola corta al eje vertical en (0, -8).

Ahora vamos a tabular dando valores a la variable x y calculando el correspondiente valor de f(x):

x	f(x)
-3	7
-2	0
-1	-5
0	-8
1	-9
2	-8
3	-5
4	0
5	7

Al llevar estos puntos al plano cartesiano y unirlos tenemos la siguiente parábola:

En los siguientes ejemplos se omiten algunos pasos con fines de praticidad.

Ejemplo 1:

Graficar $f(x)=x^2+8x+12$

Solución:

$a>0$ , entonces la parábola abre hacia arriba.

Vértice:

$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

$(-\frac{8}{2},\frac{4(12)-8^2}{4})$

(-4, -4)

Eje de simetría:

x = -4

Intersección eje y:

(0, 12)

Discriminante:

$b^2-4ac=8^2-4(1)(12)=16$

$b^2-4ac>0$ , entonces, se tienen dos intersecciones con el eje x.

Fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4(12)}}{2}$

$x_1=-2$

$x_2=-6$

Tabla:

x	f(x)
-7	5
-6	0
-5	-3
-4	-4
-3	-3
-2	0
-1	5

Gráfica:

Ejemplo 2:

$f(x)=-x^2+8x-7$

Solución:

$a<0$ , entonces la parábola abre hacia abajo.

Vértice:

$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

$(-\frac{8}{2(-1)},\frac{4(-1)(-7)-8^2}{4(-1)})$

$(4,9)$

Eje de simetría:

x = 4

Intersección eje y:

(0, -7)

Discriminante:

$b^2-4ac=8^2-4(-1)(-7)=36$

$b^2-4ac>0$ , entonces, se tienen dos intersecciones con el eje x.

Fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4(-1)(-7)}}{2(-1)}$

$x_1=1$

$x_2=7$

Tabla:

x	f(x)
0	-7
1	0
2	5
3	8
4	9
5	8
6	5
7	0
8	-7

Gráfica:

Ejemplo 3:

Graficar $f(x)=x^2+6x+10$

Solución:

$a>0$ , entonces la parábola abre hacia arriba.

Vértice:

$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$

$(-\frac{6}{2},\frac{4(10)-6^2}{4})$

$(-3,1)$

Eje de simetría:

x = -3

Intersección eje y:

(0, 10)

Discriminante:

$b^2-4ac=6^2-4(10)=-4$

$b^2-4ac<0$ , entonces, no se tienen intersecciones con el eje x.

Fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4(10)}}{2}$

$x_1=-3+i$

$x_2=-3-i$

En este caso se tienen raíces complejas, lo que es consistente con el resultado obtenido con el discriminante: no hay intersecciones con el eje x.

Tabla:

x	f(x)
-6	10
-5	5
-4	2
-3	1
-2	2
-1	5
0	10

Gráfica:

Ejemplo 4:

Graficar $f(x)=-x^2+4x-4$

Solución:

$a<0$ , entonces la parábola abre hacia abajo.

Vértice:

$(-\frac{4}{2(-1)},\frac{4(-1)(-4)-4^2}{4(-1)})$

$(2,0)$

Eje de simetría:

x = 2

Intersección eje y:

(0,-4)

Discriminante:

$b^2-4ac=4^2-4(-1)(-4)=0$

$b^2-4ac=0$ , entonces, se tiene una intersección con el eje x.

Fórmula general:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4(-1)(-4)}}{2(-1)}$

$x_1=2$

$x_2=2$

Las raíces encontradas son consistentes con el resultado encontrado para el discriminante.

Tabla:

x	f(x)
-1	-9
0	-4
1	-1
2	0
3	-1
4	-4
5	-9

Gráfica:

Índice ejemplos ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática

Ejemplos gráfica de ecuación de segundo grado

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