Ejemplos fórmula para hallar las raíces de una ecuación cúbica

Consideremos la siguiente ecuación $x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0$ , se observa que el exponente más grande es tres, por esta razón se dice que es una ecuación cúbica o de tercer grado, además, es importante notar que solo existe una variable: x.

Las fórmulas para hallar las tres raíces de una ecuación como la mencionada son:

$x_1=H+I-\frac{1}{3}a_1$

$x_2=-\frac{1}{2}(H+I)-\frac{1}{3}a_1+\frac{1}{2}i\sqrt{3}(H-I)$

$x_3=-\frac{1}{2}(H+I)-\frac{1}{3}a_1-\frac{1}{2}i\sqrt{3}(H-I)$

Donde H e I se determinan como:

$H=\sqrt[3]{G+\sqrt{F^3+G^2}}$

$I=\sqrt[3]{G-\sqrt{F^3+G^2}}$

Para calcular F y G se tiene:

$F=\frac{3a_2-a^2_1}{9}$

$G=\frac{9a_1a_2-27a_3-2a^3_1}{54}$

Del mismo modo que en el caso de la fórmula general para ecuaciones de segundo grado se tiene un discriminante D que se calcula como sigue:

$D=F^3+G^2$

El valor del discriminante da lugar a tres casos:

Si $D>0$ una raíz es real y las otras dos raíces son dos números complejos conjugados.
Si $D=0$ todas las raíces son reales y por lo menos dos son iguales.
Si $D<0$ todas las raíces son reales y diferentes.

Ejemplo 1:

Consideremos la ecuación $x^3+x^2+4x+1=0$ .

Identificamos los siguientes valores:

$a_1=1$

$a_2=4$

$a_3=1$

Sustituimos en F y G:

$F=\frac{3a_2-a^2_1}{9}$

$F=\frac{3(4)-(1^2)}{9}=\frac{11}{9}$

$G=\frac{9a_1a_2-27a_3-2a^3_1}{54}$

$G=\frac{9(1)(4)-27(1)-2(1^3)}{54}=\frac{7}{54}$

Ahora podemos calcular el discriminante:

$D=F^3+G^2$

$D=(\frac{11}{9})^3+(\frac{7}{54})^2=\frac{199}{108}$

Dado que el discriminante es positivo se tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.

Para calcular H e I se tiene:

$H=\sqrt[3]{G+\sqrt{F^3+G^2}}$

$H=\sqrt[3]{\frac{7}{54}+\sqrt{(\frac{11}{9})^3+(\frac{7}{54})^2}}=1.141411$

$I=\sqrt[3]{G-\sqrt{F^3+G^2}}$

$I=\sqrt[3]{\frac{7}{54}-\sqrt{(\frac{11}{9})^3+(\frac{7}{54})^2}}=-1.0708$

Sustituimos para encontrar las raíces:

$x_1=H+I-\frac{1}{3}a_1$

$x_1=1.141411-1.0708-\frac{1}{3}\cdot(1)=-0.262722$

$x_2=-\frac{1}{2}(H+I)-\frac{1}{3}a_1+\frac{1}{2}i\sqrt{3}(H-I)$

$x_2=-\frac{1}{2}(1.141411-1.0708)-\frac{1}{3}\cdot(1)+\frac{1}{2}i\sqrt{3}(1.141411+1.0708)$

$x_2=-0.36864+1.91853i$

$x_3=-\frac{1}{2}(H+I)-\frac{1}{3}a_1-\frac{1}{2}i\sqrt{3}(H-I)$

$x_3=-\frac{1}{2}(1.141411-1.0708)-\frac{1}{3}\cdot(1)-\frac{1}{2}i\sqrt{3}(1.141411+1.0708)$

$x_3=-0.36864-1.91853i$

Ejemplo 2:

Consideremos la ecuación $x^3+6x^2+12x+8=0$ .

Identificamos los siguientes valores:

$a_1=6$

$a_2=12$

$a_3=8$

Sustituimos en F y G:

$F=\frac{3a_2-a^2_1}{9}$

$F=\frac{3(12)-(6^2)}{9}=0$

$G=\frac{9a_1a_2-27a_3-2a^3_1}{54}$

$G=\frac{9(6)(12)-27(8)-2(6^3)}{54}=0$

Ahora podemos calcular el discriminante:

$D=F^3+G^2$

$D=0^3+0^2=0$

Dado que el discriminante es igual a cero se tienen tres raíces reales y por lo menos dos son iguales.

Para calcular H e I se tiene:

$H=\sqrt[3]{G+\sqrt{F^3+G^2}}$

$H=\sqrt[3]{0+\sqrt{0^3+0^2}}=0$

$I=\sqrt[3]{G-\sqrt{F^3+G^2}}$

$I=\sqrt[3]{0-\sqrt{0^3+0^2}}=0$

Sustituimos para encontrar las raíces:

$x_1=H+I-\frac{1}{3}a_1$

$x_1=0+0-\frac{1}{3}\cdot(6)=-2$

$x_2=-\frac{1}{2}(H+I)-\frac{1}{3}a_1+\frac{1}{2}i\sqrt{3}(H-I)$

$x_2=-\frac{1}{2}(0+0)-\frac{1}{3}\cdot(6)+\frac{1}{2}i\sqrt{3}(0-0)=-2$

$x_3=-\frac{1}{2}(H+I)-\frac{1}{3}a_1-\frac{1}{2}i\sqrt{3}(H-I)$

$x_3=-\frac{1}{2}(0+0)-\frac{1}{3}\cdot(6)-\frac{1}{2}i\sqrt{3}(0-0)=-2$

Ejemplos 3:

Consideremos la ecuación $x^3-2x^2-15x=0$ .

Identificamos los siguientes valores:

$a_1=-2$

$a_2=-15$

$a_3=0$

Sustituimos en F y G:

$F=\frac{3a_2-a^2_1}{9}$

$F=\frac{3(-15)-(-2^2)}{9}=\frac{-49}{9}$

$G=\frac{9a_1a_2-27a_3-2a^3_1}{54}$

$G=\frac{9(-2)(-15)-27(0)-2(-2^3)}{54}=\frac{143}{27}$

Ahora podemos calcular el discriminante:

$D=F^3+G^2$

$D=(\frac{-49}{9})^3+(\frac{143}{54})^2=-\frac{400}{3}$

Dado que el discriminante es negativo, por lo tanto, todas las raíces son reales y diferentes.

Para calcular H e I se tiene:

$H=\sqrt[3]{G+\sqrt{F^3+G^2}}$

$H=\sqrt[3]{\frac{143}{27}+\sqrt{(\frac{-49}{9})^3+(\frac{143}{27})^2}}$

$H=\sqrt[3]{\frac{143}{27}+\sqrt{\frac{-400}{3}}}$

$H=\sqrt[3]{\frac{143}{27}+\frac{20i}{\sqrt{3}}}$

En este caso necesitamos obtener las raíces del número complejo dentro del radical, por facilidad lo convertimos a su forma polar y después calculamos las raíces:

$z=\frac{143}{27}+\frac{20i}{\sqrt{3}}=\frac{343}{27}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}65.36036^\circ$