Ejemplos fórmula para hallar las raíces de una ecuación cúbica

Consideremos la siguiente ecuación x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0, se observa que el exponente más grande es tres, por esta razón se dice que es una ecuación cúbica o de tercer grado, además, es importante notar que solo existe una variable: x.

Las fórmulas para hallar las tres raíces de una ecuación como la mencionada son:

x_1=H+I-\frac{1}{3}a_1

x_2=-\frac{1}{2}(H+I)-\frac{1}{3}a_1+\frac{1}{2}i\sqrt{3}(H-I)

x_3=-\frac{1}{2}(H+I)-\frac{1}{3}a_1-\frac{1}{2}i\sqrt{3}(H-I)

Donde H e I se determinan como:

H=\sqrt[3]{G+\sqrt{F^3+G^2}}

I=\sqrt[3]{G-\sqrt{F^3+G^2}}

Para calcular F y G se tiene:

F=\frac{3a_2-a^2_1}{9}

G=\frac{9a_1a_2-27a_3-2a^3_1}{54}

Del mismo modo que en el caso de la fórmula general para ecuaciones de segundo grado se tiene un discriminante D que se calcula como sigue:

D=F^3+G^2

El valor del discriminante da lugar a tres casos:

  • Si D>0 una raíz es real y las otras dos raíces son dos números complejos conjugados.
  • Si D=0 todas las raíces son reales y por lo menos dos son iguales.
  • Si D<0 todas las raíces son reales y diferentes.

Ejemplo 1:

Consideremos la ecuación x^3+x^2+4x+1=0.

Identificamos los siguientes valores:

a_1=1

a_2=4

a_3=1

Sustituimos en F y G:

F=\frac{3a_2-a^2_1}{9}

F=\frac{3(4)-(1^2)}{9}=\frac{11}{9}

G=\frac{9a_1a_2-27a_3-2a^3_1}{54}

G=\frac{9(1)(4)-27(1)-2(1^3)}{54}=\frac{7}{54}

Ahora podemos calcular el discriminante:

D=F^3+G^2

D=(\frac{11}{9})^3+(\frac{7}{54})^2=\frac{199}{108}

Dado que el discriminante es positivo se tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.

Para calcular H e I se tiene:

H=\sqrt[3]{G+\sqrt{F^3+G^2}}

H=\sqrt[3]{\frac{7}{54}+\sqrt{(\frac{11}{9})^3+(\frac{7}{54})^2}}=1.141411

I=\sqrt[3]{G-\sqrt{F^3+G^2}}

I=\sqrt[3]{\frac{7}{54}-\sqrt{(\frac{11}{9})^3+(\frac{7}{54})^2}}=-1.0708

Sustituimos para encontrar las raíces:

x_1=H+I-\frac{1}{3}a_1

x_1=1.141411-1.0708-\frac{1}{3}\cdot(1)=-0.262722

x_2=-\frac{1}{2}(H+I)-\frac{1}{3}a_1+\frac{1}{2}i\sqrt{3}(H-I)

x_2=-\frac{1}{2}(1.141411-1.0708)-\frac{1}{3}\cdot(1)+\frac{1}{2}i\sqrt{3}(1.141411+1.0708)

x_2=-0.36864+1.91853i

x_3=-\frac{1}{2}(H+I)-\frac{1}{3}a_1-\frac{1}{2}i\sqrt{3}(H-I)

x_3=-\frac{1}{2}(1.141411-1.0708)-\frac{1}{3}\cdot(1)-\frac{1}{2}i\sqrt{3}(1.141411+1.0708)

x_3=-0.36864-1.91853i

Ejemplo 2:

Consideremos la ecuación x^3+6x^2+12x+8=0.

Identificamos los siguientes valores:

a_1=6

a_2=12

a_3=8

Sustituimos en F y G:

F=\frac{3a_2-a^2_1}{9}

F=\frac{3(12)-(6^2)}{9}=0

G=\frac{9a_1a_2-27a_3-2a^3_1}{54}

G=\frac{9(6)(12)-27(8)-2(6^3)}{54}=0

Ahora podemos calcular el discriminante:

D=F^3+G^2

D=0^3+0^2=0

Dado que el discriminante es igual a cero se tienen tres raíces reales y por lo menos dos son iguales.

Para calcular H e I se tiene:

H=\sqrt[3]{G+\sqrt{F^3+G^2}}

H=\sqrt[3]{0+\sqrt{0^3+0^2}}=0

I=\sqrt[3]{G-\sqrt{F^3+G^2}}

I=\sqrt[3]{0-\sqrt{0^3+0^2}}=0

Sustituimos para encontrar las raíces:

x_1=H+I-\frac{1}{3}a_1

x_1=0+0-\frac{1}{3}\cdot(6)=-2

x_2=-\frac{1}{2}(H+I)-\frac{1}{3}a_1+\frac{1}{2}i\sqrt{3}(H-I)

x_2=-\frac{1}{2}(0+0)-\frac{1}{3}\cdot(6)+\frac{1}{2}i\sqrt{3}(0-0)=-2

x_3=-\frac{1}{2}(H+I)-\frac{1}{3}a_1-\frac{1}{2}i\sqrt{3}(H-I)

x_3=-\frac{1}{2}(0+0)-\frac{1}{3}\cdot(6)-\frac{1}{2}i\sqrt{3}(0-0)=-2

Ejemplos 3:

Consideremos la ecuación x^3-2x^2-15x=0.

Identificamos los siguientes valores:

a_1=-2

a_2=-15

a_3=0

Sustituimos en F y G:

F=\frac{3a_2-a^2_1}{9}

F=\frac{3(-15)-(-2^2)}{9}=\frac{-49}{9}

G=\frac{9a_1a_2-27a_3-2a^3_1}{54}

G=\frac{9(-2)(-15)-27(0)-2(-2^3)}{54}=\frac{143}{27}

Ahora podemos calcular el discriminante:

D=F^3+G^2

D=(\frac{-49}{9})^3+(\frac{143}{54})^2=-\frac{400}{3}

Dado que el discriminante es negativo, por lo tanto, todas las raíces son reales y diferentes.

Para calcular H e I se tiene:

H=\sqrt[3]{G+\sqrt{F^3+G^2}}

H=\sqrt[3]{\frac{143}{27}+\sqrt{(\frac{-49}{9})^3+(\frac{143}{27})^2}}

H=\sqrt[3]{\frac{143}{27}+\sqrt{\frac{-400}{3}}}

H=\sqrt[3]{\frac{143}{27}+\frac{20i}{\sqrt{3}}}

En este caso necesitamos obtener las raíces del número complejo dentro del radical, por facilidad lo convertimos a su forma polar y después calculamos las raíces:

z=\frac{143}{27}+\frac{20i}{\sqrt{3}}=\frac{343}{27}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}65.36036^\circ

Luego, obtenemos las raíces considerando que para todo número natural n se tiene que:

\sqrt[n]{rcis\theta}=\sqrt[n]{r}cis\frac{\theta+k(360^\circ)}{n}

con k=0, 1, 2, 3,…,(n-1)

Las raíces que se obtienen para H son:

H_1=\frac{7}{3}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}21.7867^\circ=2.1666+0.866i

H_2=\frac{7}{3}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}141.7867^\circ=-1.8333+1.4433i

H_3=\frac{7}{3}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}261.7867^\circ=-0.3333-2.3094i

I=\sqrt[3]{G-\sqrt{F^3+G^2}}

I=\sqrt[3]{\frac{143}{27}-\sqrt{(\frac{-49}{9})^3+(\frac{143}{27})^2}}

I=\sqrt[3]{\frac{143}{27}-\frac{20i}{\sqrt{3}}}

Procedemos del mismo modo que con H, tenemos que encontrar las raíces del siguiente número complejo:

z=\frac{143}{27}-\frac{20i}{\sqrt{3}}=\frac{343}{27}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}294.6396

Las raíces que se obtienen para I son:

I_1=\frac{7}{3}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}98.2132^\circ=-0.3333+2.3094i

I_2=\frac{7}{3}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}218.2132^\circ=-1.8333-1.4433i

I_3=\frac{7}{3}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}338.2132^\circ=2.1666-0.866i

Las raíces se obtienen probando con H_1 y I_3:

x_1=H_1+I_3-\frac{a_1}{3}

x_1=2.1666+0.866i+2.1666-0.866i-(\frac{-2}{3})=5

La segunda raíz se obtiene con H_2 y I_2:

x_2=H_2+I_2-\frac{a_1}{3}

x_2=-1.8333+1.4433i+(-1.8333-1.4433i)-(\frac{-2}{3})=-3

La tercera raíz se tiene con H_3 y I_1:

x_3=H_3+I_1-\frac{a_1}{3}

x_3=-0.3333-2.3094i+(-0.3333+2.3094i)-(\frac{a_1}{3})=0

En este último caso parece preferible recurrir a otros métodos,la factorización resultará menos engorrosa:

x^3-2x^2-15x=x(x-5)(x+3)