Ejemplos discriminante de la formula general para ecuaciones de segundo grado

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La fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado contiene un radicando conocido como discriminante cuyo valor nos permite saber el tipo de raíces que satisfacen la ecuación.

Recordando la ecuación general para resolver ecuaciones de segundo grado ( ax²+bx+c=0) tenemos:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

El discriminante de la ecuación es $b^{2}-4ac$ y se tienen las siguientes condiciones para determinar el tipo de raíces que obtendremos:

Si $b^{2}-4ac>0$ se obtienen dos raíces reales y diferentes
Si $b^{2}-4ac=0$ se obtienen dos raíces reales e iguales
Si $b^{2}-4ac<0$ se obtienen dos raíces complejas y diferentes

En los siguientes ejemplos se usa el discriminante para determinar el tipo de raíces que satisfacen la ecuación:

Ejemplo 1:

5x²+x-10=0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a=5, b=1 y c=-10

Ahora, sustituimos los valores en el discriminante $b^{2}-4ac$ :

$1^{2}-4(5)(-10)=201>0$

Entonces, tenemos dos raíces reales y diferentes:

$x_1=1.3177$

$x_2=-1.5177$

Ejemplo 2:

x² + x – 2 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 1, b = 1 y c = -2

Sustituimos los valores en el discriminante $b^{2}-4ac$ :

$1^{2}-4(1)(-2)=9>0$

Tenemos dos raíces reales y diferentes:

$x_1=1$

$x_2=-2$

Ejemplo 3:

x² + x – 12 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 1, b = 1 y c = -12

Sustituimos los valores en el discriminante $b^{2}-4ac$ :

$1^{2}-4(1)(-12)=49>0$

Tenemos dos raíces reales y diferentes:

$x_1=3$

$x_2=-4$

Ejemplo 4:

4x² + 4x + 1 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 4, b = 4 y c = 1

Sustituimos los valores en el discriminante $b^{2}-4ac$ :

$4^{2}-4(4)(1)=0$

Entonces, las raíces que satisfacen la ecuación son reales e iguales:

$x_1=-\frac{1}{2}=-0.5$

$x_2= -\frac{1}{2}=-0.5$

Ejemplo 5:

x² + 6x + 9 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 1, b = 6 y c = 9

Sustituimos los valores en el discriminante $b^{2}-4ac$ :

$6^{2}-4(1)(9)=0$

Las raíces que satisfacen la ecuación son reales e iguales:

$x_1=-3$

$x_2=-3$

Ejemplo 6:

x² – 2x + 1 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 1, b = -2 y c = 1

Sustituimos los valores en el discriminante $b^{2}-4ac$ :

$(-2)^{2}-4(1)(1)=0$

Por lo tanto, las raíces que satisfacen la ecuación son reales e iguales:

$x_1=1$

$x_2=1$

Ejemplo 7:

x² + x + 1 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 1, b = 1 y c = 1

Sustituimos los valores en el discriminante $b^{2}-4ac$ :

$1^{2}-4(1)(1)=-3<0$

Entonces, las raíces que satisfacen la ecuación son complejas y diferentes:

$x_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

$x_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Ejemplo 8:

2x² + 3x + 2 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 2, b = 3 y c = 2

Sustituimos los valores en el discriminante $b^{2}-4ac$ :

$3^{2}-4(2)(2)=-7<0$

Por lo tanto, las raíces que satisfacen la ecuación son complejas y diferentes:

$x_1=-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}i$

$x_2=-\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{7}}{4}i$

Ejemplo 9:

2x² – 4x + 3= 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 2, b = -4 y c = 3

Sustituimos los valores en el discriminante $b^{2}-4ac$ :

$(-4)^{2}-4(2)(3)=-8<0$

Las raíces que satisfacen la ecuación son complejas y diferentes:

$x_1=1+\frac{\sqrt{8}}{4}i$

$x_2=1-\frac{\sqrt{8}}{4}i$

Ejemplo 10:

2x² +3x – 5 = 0

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a = 2, b = 3 y c = -5

Sustituimos los valores en el discriminante $b^{2}-4ac$ :

$3^{2}-4(2)(-5)=49>0$

Las raíces que satisfacen la ecuación son reales y diferentes:

$x_1=1$

$x_1=-\frac{5}{2}=-2.5$

Índice ejemplos ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática