Ejemplos convertir números complejos a su forma polar o trigonométrica

Consideremos un número complejo, a+bi, que representamos en el plano complejo. A este punto le corresponden las coordenadas (a, b) a partir de las que podemos obtener las coordenadas polares $(r, \theta)$ .

Debemos recordar que $r$ se conoce como módulo y $\theta$ como argumento. Las fórmulas son las siguientes:

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

$\theta=arctan{\frac{b}{a}}$

Un número complejo $z$ expresado en su forma polar o trigonométrica se escribe de la siguiente manera:

$z=r\cos{\theta}+ir\hspace{0.2cm}sen\hspace{0.2cm}\theta$

La parte real del número complejo en su forma polar o trigonométrica es:

$r\cos{\theta}$

Y la parte imaginaria es:

$ir\sin{\theta}$

La forma polar o trigonométrica se puede abreviar de la siguiente manera:

$z=r\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}\theta$

Es muy importante tener en cuenta que el ángulo $\theta$ depende de los signos de a y b, es decir, del cuadrante del plano tal como se ilustra en la siguiente imagen:

En los siguientes ejemplos se obtiene la forma polar o trigonométrica a partir de su forma binómica. Los primeros cuatro ejemplos muestran el cálculo del argumento en cada uno de los cuadrantes del plano.

Ejemplo 1:

4+4i

Calculamos las coordenadas polares teniendo en cuenta que estamos en el primer cuadrante:

$r=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$

$r=\sqrt{2\cdot16}=4\sqrt{2}$

$\theta=arctan{\frac{4}{4}}=45^\circ$

Escribimos el número complejo en su forma polar:

$z=4\sqrt{2}\cos{45^\circ}+i4\sqrt{2}sen\hspace{0.2cm}45^\circ$

$z=4\sqrt{2}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}45^\circ$

Ejemplo 2:

-4+4i

Ahora estamos localizados en el segundo cuadrante.

$r=\sqrt{(-4)^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$

$r=\sqrt{2\cdot16}=4\sqrt{2}$

$\theta=180-arctan{\frac{4}{4}}=135^\circ$

$z=4\sqrt{2}\cos{135^\circ}+i4\sqrt{2}sen\hspace{0.2cm}135^\circ$

$z=4\sqrt{2}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}135^\circ$

Ejemplo 3:

-4-4i

En este caso nos encontramos en el tercer cuadrante.

$r=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$

$r=\sqrt{2\cdot16}=4\sqrt{2}$

$\theta=180+arctan{\frac{4}{4}}=225^\circ$

$z=4\sqrt{2}\cos{225^\circ}+i4\sqrt{2}sen\hspace{0.2cm}225^\circ$

$z=4\sqrt{2}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}225^\circ$

Ejemplo 4:

4-4i

El afijo de este número complejo se localiza en el cuarto cuadrante.

$r=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$

$r=\sqrt{2\cdot16}=4\sqrt{2}$

$\theta=360-arctan{\frac{4}{4}}=315^\circ$

$z=4\sqrt{2}\cos{315^\circ}+i4\sqrt{2}sen\hspace{0.2cm}315^\circ$

$z=4\sqrt{2}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}315^\circ$

La siguiente imagen muestra las coordenadas de los ejemplos anteriores:

Ejemplo 5:

5+8i

$r=\sqrt{5^2+8^2}=\sqrt{25+64}=\sqrt{89}$

$\theta=arctan{\frac{8}{5}}=57.9946^\circ$

$z=\sqrt{89}\cos{57.99^\circ}+i\sqrt{89}sen\hspace{0.2cm}57.99^\circ$

$z=\sqrt{89}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}57.99^\circ$

Ejemplo 6:

-7+6i

$r=\sqrt{(-7)^2+6^2}=\sqrt{49+36}=\sqrt{85}$

$\theta=180-arctan{\frac{6}{7}}=139.3987^\circ$

$z=\sqrt{85}\cos{139.39^\circ}+i\sqrt{85}sen\hspace{0.2cm}139.39^\circ$

$z=\sqrt{85}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}139.39^\circ$

Ejemplo 7:

-2-3i

$r=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$

$\theta=180+arctan{\frac{3}{2}}=236.3099^\circ$

$z=\sqrt{13}\cos{236.3099^\circ}+i\sqrt{13}sen\hspace{0.2cm}236.3099^\circ$

$z=\sqrt{13}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}236.3099^\circ$

Ejemplo 8:

6-4i

$r=\sqrt{6^2+(-4)^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}$

$r=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}$

$\theta=360-arctan{\frac{4}{6}}=326.3099^\circ$

$z=2\sqrt{13}\cos{326.30^\circ}+i2\sqrt{13}sen\hspace{0.2cm}326.30^\circ$

$z=2\sqrt{13}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}326.30^\circ$

Ejemplo 9:

8+3i

$r=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}$

$\theta=arctan{\frac{3}{8}}=20.556^\circ$

$z=\sqrt{73}\cos{20.556^\circ}+i\sqrt{73}sen\hspace{0.2cm}20.556^\circ$

$z=\sqrt{73}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}20.556^\circ$

Ejemplo 10:

-8+6i

$r=\sqrt{(-8)^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$

$\theta=180-arctan{\frac{6}{8}}=143.13^\circ$

$z=10\cos{143.13^\circ}+i10sen\hspace{0.2cm}143.13^\circ$

$z=10\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}143.13^\circ$

Ejemplo 11:

-6-5i

$r=\sqrt{(-6)^2+(-5)^2}=\sqrt{36+25}=\sqrt{61}$

$\theta=180+arctan{\frac{5}{6}}=219.8^\circ$

$z=\sqrt{61}\cos{219.8^\circ}+i\sqrt{61}sen\hspace{0.2cm}219.8^\circ$

$z=\sqrt{61}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}219.8^\circ$

Ejemplo 12:

2-4i

$r=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$

$r=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}$

$\theta=360-arctan{\frac{4}{2}}=296.565^\circ$

$z=2\sqrt{5}\cos{296.565^\circ}+i2\sqrt{5}sen\hspace{0.2cm}296.565^\circ$

$z=2\sqrt{5}\hspace{0.2cm}cis\hspace{0.2cm}296.565^\circ$