Algunos modelos lineales pueden tener soluciones óptimas múltiples o alternativas, este caso sucede cuando la función objetivo y alguna de las restricciones tienen la misma pendiente.
Consideremos el siguiente ejemplo:
Un productor fabrica sillones de descanso (Sn) y sillas ejecutivas (Sa). Cada sillón de descanso aporta a la utilidad 14 400 pesos, mientras que una silla aporta 18 000 pesos.
Existen tres departamentos involucrados en la producción de los dos productos: corte, ensamble y acabado. Los tres departamentos pueden disponer de 1 080 horas hombre semanales.
Los sillones de descanso requieren de 7.2, 8.08 y 6 horas hombre en los departamentos de corte, ensamble y acabado, respectivamente.
Las sillas ejecutivas requieren de 9, 6.8 y 9.75 horas hombre en los departamentos de corte, ensamble y acabado, respectivamente.
La formulación del problema es la siguiente:
Sean Sn y Sa el número de sillones de descanso y sillas ejecutivas a producir semanalmente.
Sujeto a:
Al resolver por el método gráfico tenemos:
Después de graficar las restricciones y determinar la región de soluciones factibles debemos valuar la función objetivo en cada uno de los vértices O, A, B, C y D.
Antes es importante aclarar que la primera coordenada del punto A se calcula dividiendo el lado derecho de la restricción de ensamble entre el coeficiente asociado a la variable Sn:
De manera similar se calcula la segunda coordenada del punto D:
En los siguientes cálculos se muestran las coordenadas del punto A y D con dos decimales, pero las operaciones se realizan utilizando una fracción.
Valuando la función objetivo en el vértice O (0,0):
Es lógico que tener una utilidad igual a cero cuando no se produce ninguna unidad.
Valuando la función objetivo en el vértice A (133.66…,0):
Si producimos 133.66… sillones de descanso semanalmente, tendremos una utilidad de 1 924 752.48 pesos. La parte decimal se puede interpretar como producción en proceso, es decir, una unidad en proceso con un avance del 66%, el restante 34% se tendrá que completar en la siguiente semana.
Valuando la función objetivo en el vértice B (100,40):
Ahora, tenemos una utilidad de 2 160 000 pesos asociada a la producción de 100 sillones de descanso y 40 sillas ejecutivas.
Valuando la función objetivo en el vértice C (50,80):
Nuevamente, tenemos una utilidad de 2 160 000 pesos asociada a la producción de 50 sillones de descanso y 80 sillas ejecutivas. Una combinación diferente de valores para las variables de decisión nos proporciona la misma utilidad que al valuar el vértice B.
Valuando la función objetivo en el vértice D (0,110.76…):
Valuando el vértice D tenemos una utilidad de 1 993 846.15 pesos.
Podemos observar que los vértices B (100, 40) y C (50,80) proporcionan la misma utilidad máxima de 2 160 000 pesos, pero con una combinación de valores diferente para Sn y Sa. Es decir, ambos vértices nos proporcionan dos soluciones óptimas alternativas:
- U*=2 160 000, Sn*=100 y Sa*=40
- U*=2 160 000, Sn*=50 y Sa*=80
Esto sucede, como previamente se estableció, porque la pendiente de la función objetivo (mFO) es igual que la pendiente de la restricción de corte (mRC):
Ello implica que cualquier punto sobre el segmento BC es una solución óptima alternativa del problema, por ejemplo, vamos a valuar el punto (75,60) en la función objetivo y en la restricción de corte, primero en la función objetivo:
Se obtiene un valor para la utilidad de 2 160 000 pesos que es la utilidad óptima que hemos calculado en las dos soluciones óptimas alternativas que ya hemos encontrado.
Ahora en la restricción de corte:
La restricción de corte se cumple dado que 1 080 es menor o igual que 1 080. De hecho, sabemos que el punto (75,60) se encuentra sobre la restricción porque 1 080 es igual a 1 080.
Solo resta verificar que se cumplen las otras dos restricciones:
Se cumple la restricción de ensamble dado que 1 014 es menor o igual que 1 080.
Finalmente, se cumple la restricción de acabado ya que 1 035 es menor o igual que las horas hombre semanales con que se dispone: 1 080.
Así, la tercera solución óptima alternativa que hemos encontrado es la siguiente:
U*=2 160 000, Sn*=75 y Sa*=60
Como su nombre los dice, las soluciones óptimas alternativas dotan de gran flexibilidad a las empresas al brindar la posibilidad de opciones para lograr un mismo nivel de utilidad.