Rectas paralelas y perpendiculares, geometría analítica

Se establece que dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y, son perpendiculares cuando sus pendientes son recíprocas y de signo diferente. En cada caso, se proporciona un ejemplo.

Índice

Rectas paralelas
Rectas perpendiculares

Rectas paralelas

Dos rectas L₁ y L₂ son paralelas si sus pendientes son iguales, es decir:

$m_{1}=m_{2}$

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta que contiene al punto A(1,-6) y es paralela a la recta cuya ecuación es la siguiente:

$2x-y+1=0$

Solución:

La ecuación de la recta se puede escribir como:

$y=2x+1$

Es decir, de la forma $y=mx+b$ , donde m es la pendiente de la recta y b la ordenada al origen. Entonces, la pendiente de la recta es igual a 2:

$m=2$

Si las rectas son paralelas se debe cumplir que sus pendientes son iguales, además, se conocen las coordenadas del punto A, entonces, se aplica la ecuación punto pendiente de la recta que es la siguiente:

$y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)$

Se evalúa la ecuación punto pendiente para la pendiente m=2 y el punto A(1,-6):

$y-\left(-6\right)=2\left(x-1\right)$

Se aplica la propiedad distributiva del lado derecho de la igualdad y se simplifica el lado izquierdo:

$y+6=2x-2$

Por último, se resta 6 en ambos lados de la igualdad:

$y=2x-8$

La ecuación de la recta paralela a la recta $y=2x+1$ y que contiene al punto A(1,-6) es $y=2x-8$ .

Ejemplo:

Se desea determinar la ecuación de la recta L₂ que contiene al punto P(-1,-2) y es paralela a la recta L₁ que contiene a los puntos A(3,1) y B(1,7)?

Solución:

Primero, se determina la pendiente de los puntos A y B, es decir, de la recta L₁:

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

Se evalúa para los valores de las coordenadas de los puntos A y B:

$m=\frac{7-1}{1-3}$

Se calculan las diferencias en el numerador y en el denominador:

$m=\frac{6}{-2}$

Se calcula el cociente:

$m=-3$

Se tiene una pendiente igual a -3. Se sabe que ambas rectas tienen la misma pendiente dado que son paralelas. Ahora, se aplica la fórmula punto pendiente para calcular la ecuación de L₂:

$y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)$

Se evalúa para la pendiente m=-3 y para las coordenadas del punto P(-1,-2):

$y-\left(-2\right)=-3\left(x-\left(-1\right)\right)$

Al simplificar se obtiene la ecuación de la recta L₂:

$y=-3x-5$

La ecuación de la recta L₁ se determina de manera similar:

$y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)$

Se evalúa para el valor de la pendiente m=-3 y las coordenadas del punto A(3,1):

$y-1=-3\left(x-3\right)$

Se simplifica para tener la ecuación de la recta L₁:

$y=-3x+10$

Rectas perpendiculares

Dos rectas L₁ y L₂ son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y de signo contrario, es decir:

$m_{1}=-\frac{1}{m_{2}}$

Lo que se puede expresar de manera equivalente como:

$m_{1}{m_{2}}=-1$

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta que contiene al punto P(5,4) y es perpendicular a la recta L₁ cuya ecuación es la siguiente:

$3x-y+2=0$

Solución:

La ecuación de la recta L₁ se puede escribir como:

$y=3x+2$

Es decir, de la forma $y=mx+b$ , donde m es la pendiente de la recta y b la ordenada al origen. Entonces, la pendiente de la recta L₁ es igual a 3:

$m_{1}=3$

Si las rectas son perpendiculares se debe cumplir que sus pendientes son recíprocas y de signo contrario, además, se conocen las coordenadas del punto A, entonces, parece apropiado aplicar la ecuación punto pendiente de la recta:

$y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)$

Se evalúa la ecuación punto pendiente para la pendiente m=-1/3 y el punto P(5,4):

$y-4=-\frac{1}{3}\left(x-5\right)$