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¿Qué son los números naturales?
Los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, y así sucesivamente. Son utilizados para contar el número de elementos que tiene un conjunto, por ejemplo, el número de alumnos en una clase, el número de libros en un librero, el número de botellas de agua sobre una mesa, el número de personas en una sala, el número de frutas en una canasta, el número de días de asistencia a una clase, etc.
Los primeros números que debieron aparecer en la historia son los números naturales debido a la necesidad de contar, por ejemplo, para administrar la cantidad de ovejas, o la cantidad de frutos. En la medida en la que el comercio se intensificó, creció la necesidad de contar y de mejorar las cuentas.
El conjunto de los números naturales permite comparar, estableciendo una correspondencia uno a uno. Existe una correspondencia uno a uno si en un salón de clases se reparten lápices, y al final cada niño tiene un lápiz y no sobran lápices. De otro modo, sobran lápices, pues hay más lápices que niños; otra alternativa es que haya niños sin lápiz, lo que significa que hay más niños que lápices.
Los números naturales son un patrón o escala que sirve como referencia para contar, cuando se cuentan las palabras de la frase Todo lo cura el tiempo, se establece una correspondencia uno a uno con el conjunto de los números naturales, llegando a la conclusión de que la frase tiene 5 palabras:
- Todo
- lo
- cura
- el
- tiempo
¿Cómo se representan los números naturales?
El conjunto de los números naturales (ℕ) se escribe entre llaves {}:
ℕ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…}
Los puntos suspensivos indican que la lista continúa indefinidamente, pues no existe un número natural que sea el más grande, siempre es posible encontrar uno mayor. Por otro lado, el número natural más pequeño es el 1.
Características de los números naturales
Postulados de Peano
El número 1 pertenece al conjunto de los números naturales.
1 ∈ ℕ
Para cualquier número natural n existe uno y sólo un número natural que es el siguiente de n. El siguiente de 5 es 6, el siguiente de 6 es 7, el siguiente de 7 es 8, y así sucesivamente.
El número 1 no es el siguiente de ningún número natural, lo que implica que el número 1 es el menor de los números naturales.
Si el siguiente de dos números naturales m y n es el mismo número natural, m y n son el mismo número natural. Es decir, si el siguiente de m es 10 y el siguiente de n es 10, m=n=9. Cuando m y n son diferentes, los números que les siguen también son diferentes.
Si se parte del número 1 y se recorren los sucesivos números siguientes, se podrá alcanzar cualquier número natural por grande que sea.
Adición (suma) para los números naturales
El siguiente de un número natural n resulta de la adicción n+1. Por ejemplo, 5+1=6, el siguiente de 5 es 6.
La suma de los números naturales n y el siguiente de m es igual al siguiente de la suma de n y m.
n+(m+1)=(n+m)+1
Sean n=2 y m=3, n más el siguiente de m es igual a:
2+4
Y el siguiente de la suma de n y m es:
(2+3)+1
Luego:
2+4=(2+3)+1=6
Propiedades de la adición (suma) para los números naturales
Sean a, b y c números naturales.
Cerradura
La adicción (suma) de dos números naturales tiene como resultado otro número natural.
a+b ∈ ℕ
Por ejemplo, 10+20=30; 10, 20 y 30 son números naturales.
Asociatividad
La manera en que se agrupan los sumandos no afecta el resultado de la adicción (suma).
a+(b+c)=(a+b)+c
Por ejemplo, 1+(2+3)=1+5=6, al agrupar de otra manera se tiene el mismo resultado (1+2)+3=3+3=6.
Conmutatividad
El orden de los sumandos no altera el resultado de la adición (suma).
a+b=b+a
Por ejemplo, 5+4=4+5, ambos miembros de la igualdad suman 9.
Cancelación
Se puede suprimir un sumando en ambos miembros de una igualdad sin alterarla siempre que el sumando a suprimir sea el mismo en ambos miembros.
a+c=b+c
Por ejemplo, a+2=b+2, entonces, a=b.
Multiplicación para los números naturales
La multiplicación de un número natural n por la unidad, es decir, por el número 1, es igual a n.
n×1=n
La multiplicación de dos números naturales n y el siguiente de m es igual al producto de n y m más n.
n×(m+1)=nm+n
Por ejemplo, sean n=2 y m=3, el siguiente de m es 4 (m+1=4):
2×(3+1)=2×3+2
2×(3+1)=6+2
2×(3+1)=8
Si primero sumamos 3 y 1, obtenemos el mismo resultado:
2×(3+1)=2×4=8
Propiedades de la multiplicación para los números naturales
Sean a, b y c tres números naturales.
Cerradura
El producto de dos números naturales es otro número natural.
a×b ∈ ℕ
Por ejemplo, 5×4=20; 5, 4 y 20 son números naturales.
Asociatividad
La manera en que se agrupan los factores de una multiplicación no altera el producto.
a×(b×c)=(a×b)×c
Por ejemplo:
2×(3×4)=(2×3)×4
2×12=6×4
24=24
Conmutatividad
El orden de los fatores no afecta el producto.
a×b=b×a
Por ejemplo, 2×3=3×2, ambos lados de la igualdad son iguales a 6.
Cancelación
Se puede suprimir un factor en ambos miembros de una igualdad sin alterarla siempre que el factor a suprimir sea el mismo en ambos miembros de dicha igualdad.
a×c=b×c
Por ejemplo, a×3=b×3; a=b.
Números naturales del 1 al 100
| 1 | 11 | 21 | 31 | 41 | 51 | 61 | 71 | 81 | 91 |
| 2 | 12 | 22 | 32 | 42 | 52 | 62 | 72 | 82 | 92 |
| 3 | 13 | 23 | 33 | 43 | 53 | 63 | 73 | 83 | 93 |
| 4 | 14 | 24 | 34 | 44 | 54 | 64 | 74 | 84 | 94 |
| 5 | 15 | 25 | 35 | 45 | 55 | 65 | 75 | 85 | 95 |
| 6 | 16 | 26 | 36 | 46 | 56 | 66 | 76 | 86 | 96 |
| 7 | 17 | 27 | 37 | 47 | 57 | 67 | 77 | 87 | 97 |
| 8 | 18 | 28 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 | 98 |
| 9 | 19 | 29 | 39 | 49 | 59 | 69 | 79 | 89 | 99 |
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |