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Productos notables – qué son, fórmulas, ejemplos

Los productos notables son aquellos que se presentan con tal frecuencia que resulta conveniente memorizar las fórmulas para determinar el producto de manera directa sin tener que multiplicar término a término.

Índice

Qué son los productos notables

Los productos notables son productos que se presentan con cierta frecuencia, razón por la que resulta conveniente memorizarlos y, así, escribir su resultado de manera directa, es decir, sin tener que desarrollar la multiplicación término a término.

Binomios conjugados

La fórmula de los binomios conjugados es la siguiente:

\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}

El resultado del producto es una diferencia de cuadrados: a^{2}-b^{2}.

Ejemplo:

(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}

Ejemplo:

(2x+y)(2x-y)=4x^{2}-y^{2}

Ejemplo:

(x+2y)(x-2y)=x^{2}-4y^{2}

Cuadrado de binomios

Existen dos casos, el cuadrado de una suma y el cuadrado de una diferencia.

Cuadrado de una suma

La fórmula del cuadrado de una suma es la siguiente:

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

El resultado del producto es un trinomio cuadrado perfecto: a^{2}+2ab+b^{2}.

Ejemplo:

(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}

Ejemplo:

(2x+y)^{2}=4x^{2}+4xy+y^{2}

Ejemplo:

(x+2y)^{2}=x^{2}+4xy+4y^{2}

La representación gráfica el cuadrado de una suma es la siguiente:

Cuadrado de una diferencia

La fórmula del cuadrado de una diferencia es la siguiente:

(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

El resultado del producto es un trinomio cuadrado perfecto: a^{2}-2ab+b^{2}.

Ejemplo:

(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}

Ejemplo:

(2x-y)^{2}=4x^{2}-4xy+y^{2}

Ejemplo:

(x-2y)^{2}=x^{2}-4xy+4y^{2}

Cubo de la suma de un binomio

La fórmula del cubo de la suma de un binomio es la siguiente:

(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

El resultado del producto es un cubo perfecto: a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.

Ejemplo:

(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}

Ejemplo:

(2x+y)^{3}=8x^{3}+12x^{2}y+6xy^{2}+y^{3}

Ejemplo:

(x+2y)^{3}=x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}

Cubo de la diferencia de un binomio

La fórmula del cubo de la diferencia de un binomio es la siguiente:

(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

El resultado del producto es un cubo perfecto: a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.

Ejemplo:

(x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}

Ejemplo:

(2x-y)^{3}=8x^{3}-12x^{2}y+6xy^{2}-y^{3}

Ejemplo:

(x-2y)^{3}=x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3}

Producto de dos binomios con un término común

La fórmula del producto de dos binomios con un término común es la siguiente:

(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab

El resultado del producto es un trinomio de segundo grado: x^{2}+(a+b)x+ab.

Ejemplo:

(x+3)(x-8)=x^{2}-5x-24

Ejemplo:

(x-4)(x-5)=x^{2}-9x+20

Ejemplo:

(x-2)(x+4)=x^{2}+2x-8

La representación gráfica del producto de dos binomios con un término común es:

Producto de dos binomios que no tienen término común

La fórmula del producto de dos binomios que no tienen término común es la siguiente:

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

El resultado del producto es un polinomio de cuatro términos: ac+ad+bc+bd.

Ejemplo:

(x+y)(u+v)=xu+xv+yu+yv

Ejemplo:

(2x+4y)(6w+3z)=12xw+6xz+24yw+12yz

Ejemplo:

(x+3y)(a+b)=ax+bx+3ay+3by

Su representación gráfica es la siguiente:

Producto de dos binomios con un término semejante y otro no común

La fórmula del producto de dos binomios con un término semejante y otro no común es la siguiente:

(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd

El resultado del producto es un trinomio de segundo grado: acx^{2}+(ad+bc)x+bd.

Ejemplo:

(2x+3)(3x-8)=6x^{2}-7x-24

Ejemplo:

(3x-4)(2x-5)=6x^{2}-23x+20

Ejemplo:

(4x-2)(2x+4)=8x^{2}+12x-8

Su representación gráfica es la siguiente:

Producto de factores que dan una suma de cubos

La fórmula del producto de factores que dan una suma de cubos es la siguiente:

(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}

El resultado del producto, como su nombre lo dice, es una suma de cubos: a^{3}+b^{3}.

Ejemplo:

(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})=x^{3}+y^{3}

Ejemplo:

(2x+2y)(4x^{2}-4xy+4y^{2})=8x^{3}+8y^{3}

Ejemplo:

(3x+3y)(9x^{2}-9xy+9y^{2})=27x^{3}+27y^{3}

Producto de factores que dan una diferencia de cubos

La fórmula del producto de factores que dan una diferencia de cubos es la siguiente:

(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}

El resultado del producto, como su nombre lo dice, es una suma de cubos: a^{3}-b^{3}.

Ejemplo:

(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=x^{3}-y^{3}

Ejemplo:

(2x-2y)(4x^{2}+4xy+4y^{2})=8x^{3}-8y^{3}

Ejemplo:

(3x-3y)(9x^{2}+9xy+9y^{2})=27x^{3}-27y^{3}

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Cómo citar

Editor. (31 octubre 2023). Productos notables – qué son, fórmulas, ejemplos. Celeberrima.com. Última actualización el 18 noviembre 2023.