Números enteros positivos y el cero, qué son, símbolo, ejemplos

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¿Qué son los números enteros positivos?

El conjunto de los números enteros positivos y el cero está formado por el conjunto de los números naturales y el cero. Al igual que los números naturales, los números enteros positivos se utilizan para contar el número de elementos de un conjunto, el cero se utiliza para indicar la ausencia de elementos.

El conjunto de los números enteros positivos se escribe entre llaves {} y se denota como ℤ⁺:

ℤ⁺={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…}

Los puntos suspensivos indican que la lista continúa indefinidamente, no existe un número entero positivo más grande, pues siempre será posible encontrar uno mayor. El signo positivo como superíndice indica que se trata del conjunto de los números enteros positivos.

Todos los números naturales son números enteros positivos, por lo que el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros positivos. Dicho de otro modo, el conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números enteros positivos, lo que se puede expresar como:

ℕ ⊂ ℤ⁺

Valor posicional de un dígito en un número entero positivo

Nuestro sistema de numeración es el sistema decimal, el cual usa como base el número 10, por lo que para escribir números utilizamos diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Además, 10 unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato superior. La unidad de primer orden es la unidad y se representa con el número 1, luego 10 unidades forman la unidad de segundo orden que es la decena, la cual se representa con el número 10. De manera similar, 10 decenas forman la unidad de tercer orden que es la centena, la cual se representa con el número 100. Con el mismo razonamiento, 10 centenas forman la unidad de cuarto orden que es el millar, que se representa con el número 1000.

Leyendo un número de derecha a izquierda, cada tres órdenes forman una clase. La primera clase es la de las unidades, que está compuesta por unidades, decenas y centenas. La segunda clase corresponde a los millares, se compone por unidades de millar, decenas de millas y centenas de millar. La tercera clase es la de los millones, en la cual tenemos unidades de millón, decenas de millón y centenas de millón. La cuarta clase es la de los millares de millón compuesta por unidades de millar de millón, decenas de millar de millón y centenas de millar de millón. La quinta clase es la de los billones, que se compone por unidades de billón, decenas de billón y centenas de billón. La siguiente tabla de valor posicional muestra el valor posicional de cada dígito en el número 1,567,902,641,795:

El dígito 5 tiene un valor posicional igual a 5 cuando aparece en la columna de las unidades, y un valor igual a 500,000,000,000 cuando aparece en la columna de las centenas de millar de millón. De manera similar, el dígito 9 tiene un valor posicional igual a 90 cuando aparece en la columna de las decenas, y un valor igual a 900,000,000 cuando aparece en la columna de las centenas de millón. Análogamente, el dígito 7 tiene un valor posicional igual a 700 cuando aparece en la columna de las centenas, y un valor igual a 7,000,000,000 cuando aparece en la columna de las unidades de millar de millón. Un dígito tiene un valor posicional según el lugar que ocupa, su valor es relativo a la posición que ocupa, el sistema decimal es posicional. A los dígitos también se les llama cifras o guarismos. Es importante señalar que después de la clase de los billones sigue la clase de los millares de billón, luego los trillones, y así sucesivamente.

El número 1,567,902,641,795 se lee como “un billón quinientos sesenta y siete mil novecientos dos millones seiscientos cuarenta y un mil setecientos noventa y cinco”. Debemos notar que se utilizan comas para agrupar las clases y facilitar la lectura, en algunos países se utilizan puntos. También se ha sugerido que se utilice un espacio para evitar confusiones entre comas y puntos.

Consideremos el número 333,333, leyendo de derecha a izquierda, tenemos el dígito 3 en la columna de las unidades, con un valor posicional igual a 3; el dígito 3 en la columna de las decenas, con un valor posicional igual a 30; el dígito 3 en la columna de las centenas, con un valor posicional igual a 300; el dígito 3 en la columna de los millares, con un valor posicional igual a 3000; el dígito 3 en la columna de las decenas de millar, con un valor posicional igual a 30,000; y dígito 3 en la columna de las centenas de millar, con un valor posicional igual a 300,000. El valor posicional de cada columna es 10 veces mayor que la columna inmediatamente a su derecha. Si consideramos el número 111, de derecha a izquierda, el valor posicional de cada dígito es:

1 unidad

1 decena=10 unidades

1 centena=10 decenas=100 unidades

Adicionalmente, dos clases, de derecha a izquierda, forman un período. El período de las unidades se forma por la clase de las unidades y la clase de los millares, el período de los millones comprende la clase de los millones y la clase de los millares de millón, etc.

¿Cómo escribir números enteros positivos con palabras?

Primero, se identifica la clase más grande y se escribe con letra la cantidad correspondiente a esa clase. Si la clase es la de los millares o millares de algo (ej. millares de millones) se escribe la palabra mil. El proceso se repite hasta terminar. El nombre de la clase de las unidades simples no se escribe. La cantidad no se escribe cuando el dígito cero aparece en alguna clase, en este caso se debe continuar con la siguiente clase.

Números que se pueden escribir en una sola palabra

0-29: cero, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, once, doce, trece, catorce, quince, dieciséis, diecisiete, dieciocho, diecinueve, veinte, veintiuno, veintidós, veintitrés, veinticuatro, veinticinco, veintiséis, veintisiete, veintiocho, veintinueve.

Las decenas: diez, veinte, treinta, cuarenta, cincuenta, sesenta, setenta, ochenta, noventa.

Las centenas: cien, doscientos, trescientos, cuatrocientos, quinientos, seiscientos, setecientos, ochocientos, novecientos.

Los números que se expresan en dos palabras unidas por la conjunción y son las decenas más cualquiera de los dígitos (31-99): treinta y uno, cuarenta y dos, cincuenta y tres, sesenta y cuatro, setenta y cinco, ochenta y seis, noventa y siete, etc. La excepción son las decenas cerradas: treinta, cuarenta, etc. A continuación se muestran algunos ejemplos:

17, diecisiete
40, cuarenta
81, ochenta y uno
300, trecientos
605, seiscientos cinco
999, novecientos noventa y nueve
4671, cuatro mil seiscientos setenta y uno
54,111, cincuenta y cuatro mil ciento once
8,437,567, ocho millones cuatrocientos treinta y siete mil quinientos sesenta y siete

¿Cómo escribir números enteros positivos con los dígitos?

El primer paso es identificar la clase más grande para escribir la cantidad correspondiente con los dígitos. Si la clase es descrita por la palabra mil se debe buscar la siguiente palabra para saber a qué millares se refiere, ya sean millares de millones, millares de billones, etc. El proceso se repite hasta terminar. A continuación se muestran algunos ejemplos:

Quince: 15
Veintidós: 22
Setenta: 70
Quinientos: 500
Novecientos treinta y ocho: 938
Mil seiscientos cuarenta: 1640
Ochenta y cinco mil tres: 85,003
Cuatrocientos noventa y cinco mil: 495,000
Dos millones trecientos cinco: 2,000,305
Seiscientos once millones ciento cinco mil trecientos setenta y nueve: 611,105,379

Además, avanzando de derecha a izquierda, los dígitos se separan de tres en tres para facilitar la lectura, dependiendo de la región o país, se hace con una coma o punto: 159,459,354. No obstante, últimamente, se ha desaconsejado la utilización de puntos o comas para evitar confundir la parte entera con la decimal, recomendando utilizar espacios: 159 459 354. Aunque por mucho tiempo se han separado los números de cuatro cifras (ej. 5,469), actualmente han comenzado a dejar de hacerlo (ej. 5469). Asimismo, las cifras que forman un mismo número no deben escribirse en diferentes líneas.

Escribir números enteros positivos en su forma expandida

La forma expandida, o notación expandida, consiste en escribir un número como la suma de los valores posicionales de cada uno de los dígitos que lo componen. Por ejemplo, el número 14 tiene el dígito 1 en la columna de las decenas, por lo que su valor posicional es igual a 10; y el dígito 4 aparece en la columna de las unidades, luego su valor posicional es igual a 4. Para escribirlo en su forma expandida sumamos 10+4.

14=1 decena + 4 unidades

14=10+4

Siguiendo el mismo razonamiento tenemos los siguientes ejemplos:

358=3 centenas + 5 decenas + 8 unidades

358=300+50+8

——

2571=2 millares + 5 centenas + 7 decenas +1 unidad

2571=2000+500+70+1

——

44,444=4 decenas de millar + 4 millares + 4 centenas + 4 decenas + 4 unidades

44,444=40,000+4000+400+40+4

——

7,000,513=7 millones + 5 centenas + 1 decena + 3 unidades

7,000,513=7,000,000+500+10+3

Graficar números enteros positivos en la recta numérica

Los números enteros positivos y el cero se pueden representar como puntos sobre una recta numérica. Para dibujar una recta numérica, se comienza a la izquierda con un punto conocido como origen, que representa el número cero. Enseguida se dibujan marcas hacia la derecha, las cuales están separadas de manera uniforme, es decir, se encuentran a la misma distancia unas de otras, esta distancia representa la unidad, la distancia entre 5 y 6 es la misma que la que existe entre 8 y 9. Cada marca corresponde a un número entero positivo. La punta de flecha en el extremo derecho indica que la recta numérica continúa indefinidamente, pues no hay un número entero positivo que sea el más grande.

Graficamos un número entero positivo cuando localizamos su posición en la recta numérica y lo marcamos con un punto. En la siguiente imagen, se han graficado los números 4, 9 y 12.

En resumen, el procedimiento es el siguiente:

Se fija un punto que represente el cero u origen.
Con ayuda de una regla, se dibuja una recta a partir del cero u origen.
Se elige una longitud que represente la unidad.
Con la longitud elegida, se realizan marcas uniformemente separadas sobre la recta.
De izquierda a derecha, cada marca se asocia a un número comenzando con el cero, luego con los números enteros positivos en orden creciente.
En el extremo derecho de la recta, se dibuja una flecha que indica que la recta numérica continúa indefinidamente.

Comparaciones de números enteros positivos con signos de desigualdad

Los números aumentan de valor conforme avanzamos a la derecha en la recta numérica. En la imagen anterior, se observa que el 9 está a la derecha del 4, lo que significa que 9 es mayor que 4, esto último se expresa mediante el símbolo de desigualdad mayor que (>):

9>4, se lee 9 es mayor que 4.

De manera similar, el 9 está a la izquierda del 12, por lo que 9 es menor que 12, lo cual podemos expresar mediante el símbolo de desigualdad menor que (<):

9<12, se lee 9 es menor que 12.

Si 9 es mayor que 4, es cierto que 4 es menor que 9, 4<9. Y si 9 es menor que doce, es verdad que 12 es mayor que 9, 12>9. Los símbolos de desigualdad siempre apuntan al más pequeño de los números.

En la recta numérica, un número es mayor que otro que se encuentra su izquierda, y un número es menor que otro que se encuentra a su derecha.