Tabla de contenidos
¿Qué son los números imaginarios?
Dado que no hay un número real x para el cual x2=-1, los números imaginarios proporcionan soluciones a ecuaciones de la forma x2+c=0, en las cuales c es un número positivo. Sea i un número tal que i×i=i2=-1, así la raíz cuadrada de -1 es igual al número imaginario i. Un número imaginario tiene la forma bi, donde b es un número real.
Además, la raíz cuadrada de cualquier número real negativo es un número imaginario que puede expresarse en términos de i.
Entonces, podemos escribir cualquier número imaginario en términos de i, por ejemplo, la raíz cuadrada de -4, resulta 2i.
¿Cómo simplificar expresiones en términos de i?
Para simplificar una expresión en términos de i, debemos recordar que las propiedades de la multiplicación y división de radicales solamente son válidas para los números reales, por tal razón debemos escribir las expresiones radicales en términos de i, y luego aplicar las propiedades de los radicales:
Procedemos de manera similar con el siguiente cociente.
Los siguientes son números imaginarios:
¿Qué son los números complejos? Forma binómica
Sean a y b dos números reales, luego a+bi es un número complejo, a es la parte real y b es la parte imaginaria. El conjunto de los números complejos se representa con ℂ, y se define como:
ℂ={z|z=a+bi, a, b ∈ ℝ, i2=-1}
Un número complejo es la suma de un número real a y un número imaginario b. Los números reales son un subconjunto de los número complejos, ya que si a≠0 y b=0, se tiene un número real a, en otras palabras, todos los números reales son números complejos, el número complejo 2+0i se escribe simplemente como el número real 2.
Por otro lado, los números imaginarios son un subconjunto de los números complejos, ya que si a=0 y b≠0, se tiene un número imaginario bi. El número complejo 0+3i se escribe simplemente como 3i, y es un número imaginario puro.
El número complejo a+bi está escrito en su forma estándar, también llamada binómica, cartesiana, rectangular o simplificada.
Es importante notar que a-bi=a+(-b)i. También es importante señalar que, con el fin de evitar confusiones, algunos autores escriben a+ib en lugar de a+bi, lo que es útil cuando se usan radicales:
Representación gráfica números complejos en el plano complejo
Un número complejo se representa en el plano complejo que se forma con dos ejes. El eje real se representa horizontalmente, sobre él se representa la parte real a. El eje imaginario es vertical y perpendicular al eje real, sobre este se representa la parte imaginaria b. De tal modo que, cada punto (a, b) representa un número complejo, que se conoce como afijo del número complejo a+bi. El plano complejo también se conoce como plano gaussiano o diagrama de Argand.
La representación de los puntos (-7, 6i), (5, 8i), (2, 2i), (-2, -3i) y (6, -4i) en el plano complejo es la siguiente:
Un número complejo también se puede representar como un vector que va del origen O al punto P.
Suma de números complejos expresados en su forma binómica
Sean z1=a+bi y z2=c+di dos números complejos, donde a, b, c, d ∈ ℝ. Luego, la suma z1+z2 tiene como resultado (a+c)+(b+d)i. Por ejemplo, la suma de z1=2+3i y z2=5+6i se obtiene de la siguiente manera:
z1+z2=(2+5)+(3+6)i
z1+z2=7+9i
Resta de números complejos expresados en su forma binómica
Sean z1=a+bi y z2=c+di dos números complejos, donde a, b, c, d ∈ ℝ. Luego, la resta z1-z2 tiene como resultado (a-c)+(b-d)i. Por ejemplo, sean z1=5+3i y z2=3+6i, luego z1-z2 se obtiene de la siguiente manera:
z1-z2=(5-3)+(3-6)i
z1-z2=2-3i
Multiplicación de números complejos expresados en su forma binómica
Dos números complejos se multiplican como una expresión algebraica, es decir, término a término. Cada término del número complejo z1=a+bi se multiplica por cada uno de los términos del número complejo z2=c+di.
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2
Sabemos que i2=-1:
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd(-1)
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci-bd
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
La parte real resulta ac-bd y la parte imaginaria ad+bc. Multipliquemos los siguientes números complejos expresados en su forma binómica:
(4-5i)(-1+3i)=-4+12i+5i-15i2
(4-5i)(-1+3i)=-4+12i+5i+15
(4-5i)(-1+3i)=(-4+15)+(12+5)i
(4-5i)(-1+3i)=11+17i
División números complejos en su forma binómica
Los primero que tenemos que hacer para dividir un número complejo z1=a+bi entre otro número complejo z2=c+di es escribir la división como una fracción, luego multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, por último reducimos términos semejantes.
Por ejemplo, dividamos 2-4i entre -3+i:
Conjugado de un número complejo
Dos números complejos son conjugados si solo difieren en el signo de la parte imaginaria, a+bi y a-bi son números complejos conjugados. El conjugado de z se representa como z̅. Por ejemplo, el conjugado de -2-3i es -2+3i.
Suma de números complejos conjugados
Para sumar dos números complejos conjugados, sumamos sus partes reales y sus partes imaginarias. El resultado es un número real.
(a+bi)+(a-bi)=(a+a)+(b-b)i
(a+bi)+(a-bi)=2a
Sumemos los siguientes números complejos conjugados:
(-1-5i)+(-1+5i)=(-1+(-1))+(-5+5)i
(-1-5i)+(-1+5i)=(-1-1)+(0)i
(-1-5i)+(-1+5i)=-2
Resta de números complejos conjugados
Para restar dos números complejos conjugados, realizamos la sustracción entre partes reales, y luego la sustracción entre partes imaginarias. El resultado es un número imaginario.
(a+bi)-(a-bi)=(a-a)-(b-(-b))i
(a+bi)-(a-bi)=(0)-(b+b)i
(a+bi)-(a-bi)=2bi
Restemos los siguientes números complejos conjugados:
(-1-5i)-(-1+5i)=(-1-(-1))+(-5-(+5))i
(-1-5i)+(-1+5i)=(-1+1)+(-5-5)i
(-1-5i)+(-1+5i)=-10i
Multiplicación de números complejos conjugados
Para multiplicar dos números complejos conjugados, se procede como si se tratara de dos binomios conjugados. Se multiplica la parte real del número complejo z por la parte real y la parte imaginaria de su conjugado z̅, luego se multiplica la parte imaginaria de z por la parte real y la parte imaginaria de z̅:
zz̅=(a+bi)(a-bi)
zz̅=a2-abi+abi-b2i2
Se reducen términos semejantes:
zz̅=a2-b2i2
Sabemos que i2=-1:
zz̅=a2-b2(-1)
zz̅=a2+b2
Multipliquemos los siguientes números complejos conjugados:
(2-3i)(2+3i)=4+6i-6i-9i2
(2-3i)(2+3i)=4-9(-1)
(2-3i)(2+3i)=4+9
(2-3i)(2+3i)=13
Forma polar o trigonométrica
Consideremos un número complejo en el plano complejo, al cual le corresponden las coordenadas (a, b), a partir de las que podemos obtener las coordenadas polares (r, θ), r se conoce como módulo y θ como argumento. Las fórmulas son las siguientes:
Un número complejo z expresado en su forma polar o trigonométrica se escribe como z=r cos θ +ir sen θ, donde r cos θ es la parte real y ir sen θ es la parte imaginaria. La forma polar o trigonométrica se puede abreviar como z=r cis θ.
Hay que tener en cuenta que el ángulo θ depende de los signos de a y b, es decir, del cuadrante del plano tal y como se ilustra en la siguiente imagen:
En los siguientes ejemplos, escribimos los números complejos en su forma polar:
⮊ z=4+4i
⮊ z=-4+4i
⮊ z=-4-4i
⮊ z=4-4i
La siguiente imagen muestra las coordenadas de los ejemplos anteriores:
¿Cómo escribir números complejos en forma binómica a partir de su forma polar?
Si conocemos las coordenadas polares de un número complejo podemos determinar su forma binómica. Dado un número complejo z=r cis θ, lo podemos escribir como:
z=r cos θ +ir sen θ
De modo que, su parte real es rcosθ y su parte imaginaria es irsenθ. Luego, tenemos que:
a=rcosθ
b=irsenθ
Escribiendo el siguiente número complejo a su forma binómica, tenemos:
Multiplicación números complejos en su forma polar
Para multiplicar dos números complejos en su forma polar, se multiplican los módulos y se suman los argumentos. Sean z1=r1cisθ1 y z2=r2cisθ2 dos números complejos, su producto se define de la siguiente manera:
z1z2=r1r2cis(θ1+θ2)
⮊ Sean z1=2cis35° y z2=3cis10°, el producto z1z2, se calcula como sigue:
z1z2=(2×3)cis(35°+10°)
z1z2=6cis45°
División de números complejos en su forma polar
Para dividir un número complejo entre otro número complejo, se divide el módulo del primer número complejo entre el módulo del segundo número complejo, luego se resta el argumento del segundo número complejo al argumento del primer número complejo. Sean z1=r1cisθ1 y z2=r2cisθ2 dos números complejos, el cociente se define de la siguiente manera:
⮊ Sean z1=8cis135° y z2=2cis40°, al dividir z1 entre z2, tenemos:
Potencias de números complejos en su forma polar
La potencia n de un número complejo z en su forma polar, se obtiene elevando a la n el módulo y sumando n veces el argumento.
zn=(rcisθ)n=rncis(nθ)
Esto es válido para todo número natural n.
⮊ Sean z=2cis40° y n=3:
z3=(2cis40)3
z3=23cis(3×40°)
z3=8cis120°
Raíces de números complejos en su forma polar
La raíz n de un número complejo z en su forma polar se obtiene con la raíz n del módulo y dividiendo el argumento más k veces 360º entre n. La fórmula para calcular las raíces de un número complejo escrito en su forma polar es la siguiente:
Lo cual es válido para todo número natural n con k =0, 1, 2,…,(n-1).
⮊ Sean z=16cis210° y n=2:
Forma de Euler o exponencial
Un número complejo z se puede escribir como el producto entre el módulo r y la contante de Euler elevada a la iθ, esta es una forma compacta de expresar los números complejos. El matemático y físico suizo Leonhard Euler estableció la siguiente relación:
eiθ=cosθ+isenθ
Así, el número complejo z=rcisθ se puede expresar como:
z=reiθ
El argumento θ está expresado en radianes.
⮊ Sea z=5cis45°:
Multiplicación de números complejos en su forma de Euler
Para multiplicar dos números complejos expresado en la forma de Euler, multiplicamos los módulos y sumamos los argumentos.
Potencias de números complejos en su forma de Euler
Para elevar un número complejo z en su forma de Euler a una potencia n debemos elevar el módulo a la n y multiplicar el argumento por n.
