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¿Qué es una fracción?
Una fracción es el cociente de dos enteros a y b, b divide a a, por lo que b≠0. Al número entero a se le conoce como numerador de la fracción y al número entero b se le conoce como denominador de la fracción. En algunos lugares, el término quebrado se usa como sinónimo de fracción.
El denominador de una fracción indica el número de partes iguales en que se ha dividido una unidad, y el numerador indica cuántas de esas partes se toman o consideran. El numerador se escribe sobre la barra de fracción y el denominador debajo.
Por ejemplo, un cuarto significa que hemos dividido una unidad en 4 partes iguales y que sólo consideramos una de esas partes. La siguiente imagen ilustra un cuarto, dos cuartos, tres cuartos y cuatro cuartos.
El denominador de dos cuartos nos indica que la unidad se dividió en 4 partes iguales y el numerador que sólo consideramos 2 partes. El denominador de tres cuartos nos dice que la unidad se dividió en 4 partes iguales y el numerador que sólo consideramos 3 partes. El denominador de cuatro cuartos nos dice que la unidad se dividió en 4 partes iguales y el numerador que se consideran las 4 partes, en este caso, se considera la unidad, puesto que 4 entre 4 es 1 (4÷4=1).
Siguiendo el mismo razonamiento, un medio es la mitad de algo, el denominador nos indica que la unidad se dividió en 2 y el numerador indica que sólo consideramos una mitad. El denominador de un tercio nos indica que la unidad se dividió en 3 partes iguales y el numerador que sólo se considera una parte. El denominador de dos tercios nos indica que la unidad se dividió en 3 partes y el numerador que se consideran 2 partes.
Si dividimos una unidad en 5 partes, el denominador es 5, y según las partes que se consideren tendremos un quinto, dos quintos, tres quintos o cuatro quintos.
El denominador de un quinto nos indica que la unidad se dividió en 5 partes iguales y el numerador que sólo se considera una de ellas. El denominador de dos quintos nos indica que la unidad se dividió en 5 partes iguales y el numerador que sólo se consideran 2 de esas 5 partes. El denominador de tres quintos nos dice que la unidad se dividió en 5 partes iguales y el numerador que sólo se consideran 3 partes. El denominador de cuatro quintos nos dice que la unidad se dividió en 5 partes iguales y el numerador que sólo se consideran 4 de esas 5 partes.
Por ejemplo, si dividimos un pastel rectangular en 10 partes iguales y solamente se consumen 7 partes, decimos que se terminaron siete décimos del pastel. También es cierto que sobran tres décimos del pastel.
La unidad se puede dividir en un medio, un cuarto, un octavo, un dieciseisavo y dos treintaidosavos, la suma de todas estas fracciones es igual a uno, es decir, es igual a la unidad.
Las fracciones describen una parte de un todo, como la mitad de un pastel, tres cuartos de hora, etc. En las imágenes anteriores, se cuenta el número de partes en que está dividida la figura, después se cuentan las partes que están sombreadas, así determinamos una fracción.
Suponiendo que hoy es 11 de enero, la fracción del mes que ha transcurrido se representa de la siguiente manera, en el numerador escribimos 11, pues son los días que han transcurrido, y en el denominador escribimos 31, pues son el número de días que componen el mes de enero.
Las fracciones son números racionales, los cuales contienen a los números enteros, pues todos los números enteros se pueden escribir como una fracción con denominador igual a 1. En otras palabras, los números enteros son un subconjunto de los números racionales.
Fracciones negativas
Para representar fracciones negativas, escribirnos el signo negativo en el numerador, en el denominador o frente a la fracción.
Fracción propia
En una fracción propia el numerador a es menor que el denominador b, lo que significa que la fracción es menor de 1.
Por ejemplo, dividamos un cuadrado en cuatro partes iguales, si solamente tomamos tres de esas cuatro partes tendremos una cantidad menor que 1, concretamente tres cuartos. La siguiente imagen ilustra esta situación.
Las siguientes son fracciones propias:
Fracción impropia
En una fracción impropia el numerador a es mayor o igual que el denominador b, por lo que cualquier fracción impropia es mayor o igual a 1. Además, una fracción impropia se puede escribir como la suma de un número entero más una fracción propia.
Por ejemplo, nueve cuartos es mayor que 1, pues 4 cabe dos veces en 9 (4×2=8), y existe un residuo igual a un cuarto. La fracción es impropia porque 9>4. Además, se puede escribir como la suma de un número entero y una fracción propia:
Las siguientes son fracciones impropias:
Convertir fracciones impropias a mixtas
Para convertir una fracción impropia a una mixta, dividimos el numerador entre el denominador, dado que se trata de una fracción impropia el numerador es mayor o igual al denominador, luego el resultado consiste en una parte entera y en un residuo o sobrante. Para escribir el resultado, escribimos la parte entera, a continuación el residuo como el numerador de una fracción cuyo denominador es el mismo que el de la fracción impropia. Anteriormente, hemos escrito nueve cuartos como la suma de un entero y una fracción: 2 + un cuarto.
En el siguiente ejemplo, once tercios se escriben como un número mixto. 11÷3=3 y sobran 2. Luego, escribimos once tercios como la suma de un entero (3) y una fracción cuyo numerador es el residuo de la división 11÷3, y su denominador es el mismo que la fracción original, o sea 3.
Convertir fracciones mixtas a impropias
Para convertir una fracción mixta a una impropia, multiplicamos el número entero por el denominador de la parte fraccionaria, el resultado de la multiplicación lo sumamos al numerador de la parte fraccionaria, el resultado de la suma lo escribimos en el numerador de la fracción impropia y conservamos el denominador original.
En el siguiente ejemplo, multiplicamos la parte entera (2) por el denominador de la fracción (4), luego sumamos el resultado de la multiplicación (2×4=8) al numerador de la fracción (8+1), finalmente escribimos el resultado de la suma como el numerador de la fracción impropia y conservamos el denominador original.
Fracciones equivalentes
Las fracciones equivalentes se escriben de diferente manera, pero su valor es exactamente el mismo, siguen representando la misma parte de un todo. Por ejemplo, un medio es equivalente a dos cuartos y a cuatro octavos, y así sucesivamente. La siguiente imagen ilustra que un medio es equivalente a dos cuartos, ambas fracciones representan la misma porción sombreada de la figura.
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma porción de un todo. Si multiplicamos numerador y denominador por cualquier número entero positivo, tendremos una fracción equivalente. Por ejemplo, en el primer renglón de la siguiente tabla leemos que un medio es equivalente a dos cuartos, a tres sextos, a cuatro octavos, a cinco décimos, y así sucesivamente. Para obtener las fracciones equivalentes a un medio hemos multiplicado, tanto numerador como denominador, por 2, 3, 4, 5, y así sucesivamente.
El producto de cualquier fracción por 1 es la misma fracción. Si queremos encontrar una fracción equivalente a cinco sextos con denominador igual a 18, determinamos qué número multiplicado por 6 es igual a 18 (18÷6=3, 6×3=18), el cual resulta ser 3. Multiplicamos la fracción original por tres tercios para obtener una fracción equivalente con denominador igual a 18. Este resultado aparece en el tercer renglón y tercera columna de la tabla anterior.
Al multiplicar por tres tercios, hemos multiplicado por 1, porque un número dividido entre sí mismo es igual a 1 (3÷3=1). Para construir fracciones equivalentes, multiplicamos la fracción original por 1 expresado como una fracción:
Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican por el mismo número diferente de cero, el resultado es una fracción equivalente a la fracción original.
Simplificación de fracciones
Una fracción tienen un número infinito de fracciones equivalentes, simplificar una fracción consiste en escribirla en su forma más simple. Cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes diferentes de 1, la fracción está escrita en su forma más simple. Consideremos quince veinteavos, los factores diferentes de 1 en el numerador son 3 y 5 (3×5=15), los factores diferentes en el denominador son 2, 2 y 5 (2×2×5=20). Quince veinteavos no está en su forma más simple, pues 5 es factor común del numerador y denominador, luego cinco quintos es igual a 1, y la fracción, en sus términos más simples, se escribe como tres cuartos.
Es importante recordar que un número dividido por sí mismo es igual a 1, y que el resultado de multiplicar una fracción por 1 es la misma fracción. Así, la forma simplificada de quince veinteavos es tres cuartos. Para determinar los factores comunes entre el numerador y el denominador, se recurre a la factorización. Escribir el numerador y denominador de una fracción como un producto de números primos facilita la identificación de los factores comunes. Las fracciones negativas se simplifican de la misma manera, pero es importante recordar escribir el signo negativo en cada paso.
Fracciones cuyo numerador y denominador son iguales
Cuando el numerador y denominador de una fracción son iguales, se tiene un número dividido entre sí mismo, por lo que, siempre que el denominador sea diferente de 0, el resultado es igual a 1.
Fracciones cuyo denominador es igual a 1
Cualquier fracción con denominador igual a 1 es igual al numerador.
Fracciones cuyo numerador es igual a 0
Dividir 0 entre cualquier cantidad diferente de 0 es igual a 0, por lo que una fracción con numerador igual a cero y denominador diferente de 0 es igual a 0.
Fracciones con denominador igual a 0
La división entre 0 no está definida.
Fracciones con numerador y denominador igual a 0
En este caso, se dice que la fracción es indeterminada o no determinada.
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar una fracción por otra fracción, multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador. El producto de los numeradores se escribe en el numerador de la fracción resultante, y el producto de los denominadores se escribe en el denominador. En caso de ser posible, la fracción se simplifica.
Por ejemplo, al multiplicar tres cuartos por un medio, el resultado son tres octavos. Primero, multiplicamos los numeradores, 3×1=3, el resultado lo escribimos en el numerador. Luego, multiplicamos los denominadores, 4×2=8, el resultado lo escribimos en el denominador. La siguiente imagen ilustra la multiplicación de tres cuartos por un medio.
En otro ejemplo, vamos a multiplicar nueve décimos por tres quintos. Multiplicamos numeradores y el resultado lo escribimos en el numerador (9×3=27), luego multiplicamos denominadores y el resultado lo escribimos en el denominador (10×5=50).
En el caso de más de dos fracciones, procedemos de manera similar, multiplicamos todos los numeradores y el resultado lo escribimos en el numerador, luego multiplicamos todos los denominadores y el resultado lo escribimos en el denominador. Por ejemplo, multiplicamos cinco séptimos, tres medios y un cuarto. Multiplicamos los tres numeradores, el resultado lo escribimos en el numerador (5×3×1=15). Multiplicamos los tres denominadores, el resultado lo escribimos en el denominador (7×2×4=56).
En el siguiente ejemplo, multiplicamos más de dos fracciones siguiendo el mismo procedimiento, multiplicamos los numeradores, el resultado lo escribimos en el numerador, luego multiplicamos los denominadores y el resultado lo escribimos en el denominador. Durante el proceso, simplificamos la fracción identificando factores comunes en el numerador y denominador.
Para multiplicar un entero por una fracción, escribimos el entero como una fracción. Cualquier número entero a dividido entre 1 es igual al mismo número entero a.
Regla de los signos para la multiplicación de fracciones
Cuando se multiplican dos fracciones con signos iguales, el producto es positivo. En otro caso, el producto es negativo. En el siguiente ejemplo, se multiplican dos fracciones con diferente signo, por lo que el resultado tiene signo negativo.
Recíproco de una fracción
Dos números son recíprocos cuando su producto es igual a 1. El cero no tiene recíproco. El recíproco de una fracción se encuentra fácilmente al invertir numerador y denominador. El recíproco de tres cuartos es cuatro tercios.
División de fracciones
Para dividir una fracción (dividendo) entre otra fracción (divisor), multiplicamos el dividendo por el recíproco del divisor. El resultado se simplifica siempre que sea posible.
Para dividir un medio entre cuatro tercios, invertimos la segunda fracción (divisor), y multiplicamos un medio por tres cuartos. El resultado es tres octavos.
En otras palabras, para dividir un medio entre cuatro tercios, multiplicamos el numerador del dividendo por denominador del divisor (1×3=3), el resultado lo escribimos en el numerador. Luego, multiplicamos el denominador del dividendo por el numerador del divisor (2×4=8), el resultado lo escribimos en el denominador.
Para dividir un número entero por una fracción, escribimos el número entero como fracción y lo multiplicamos por el recíproco de la fracción. Por ejemplo, para dividir 5 entre un cuarto, escribimos 5 como fracción, y lo multiplicamos por el recíproco de un cuarto.
Regla de los signos para la división de fracciones
El resultado de la división entre dos fracciones del mismo signo es positivo. Si las fracciones tienen diferente signo, el cociente es negativo. En el siguiente ejemplo, se dividen dos fracciones con signo negativo, por lo que el resultado también tiene signo negativo.
Suma de fracciones con el mismo denominador
Para sumar dos o más fracciones con el mismo denominador, sumamos los numeradores, escribimos el resultado en el numerador. El denominador del resultado de la suma es el mismo que aparece en las fracciones que se suman, pues los sumandos tienen denominador común. La fracción resultante se simplifica siempre que sea posible.
Si sumamos tres cuartos y dos cuartos, el denominador común es 4, luego escribimos 4 en el denominador. En el numerador, escribimos el resultado de la suma de los numeradores (3+2=5). El resultado es igual a cinco cuartos.
En otras palabras, para sumar fracciones que tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores y el total lo escribimos sobre el denominador común.
Suma de fracciones con diferente denominador
Para sumar fracciones con diferente denominador, es necesario encontrar el mínimo común denominador (mcd) para expresar las fracciones que se suman como fracciones equivalentes con un denominador común. El mínimo común denominador es el número más pequeño que cada denominador divide de manera exacta. Por ejemplo, al sumar un medio y dos tercios, encontramos que el mínimo común denominador es 6, tanto 2 como 3 dividen 6 de manera exacta (6÷2=3 y 6÷3=2). Escribimos las fracciones que se suman como fracciones equivalentes con denominador igual a 6, un medio es equivalente a tres sextos y dos tercios es equivalente a cuatro sextos. Ahora, podemos sumar porque las fracciones están expresadas con un denominador común, sumamos los numeradores y el resultado lo escribimos en el numerador, luego escribimos el denominador común en el denominador del resultado.
Cuando el denominador más pequeño es factor del denominador más grande, este último es el mínimo común denominador. Por ejemplo, al sumar dos tercios y cinco sextos, el mínimo común denominador es igual a 6, porque 3 es factor de 6 (3×2=6). El primer sumando lo expresamos como una fracción equivalente, dos tercios es equivalente a cuatro sextos. Ya que las fracciones están expresadas con un denominador común, sumamos tal y como se ha explicado en los párrafos anteriores.
Cuando se suma un número entero y una fracción, expresamos el número entero como una fracción cuyo denominador es el mismo que la fracción con la que se suma, luego realizamos la adición. Para sumar tres más cuatro quintos, expresamos el número 3 como una fracción con denominador igual a 5. ¿Qué número dividido por 5 es igual a 3? El número es 15, pues 15÷5=3. Entonces, sumamos quince quintos y cuatro quintos.
Resta de fracciones con el mismo denominador
Para restar dos o más fracciones con igual denominador, calculamos la diferencia entre los numeradores, escribimos el resultado en el numerador. El denominador es el mismo que aparece en las fracciones que se restan. La fracción resultante de la resta se simplifica siempre que sea posible.
Restando dos cuartos de tres cuartos, el denominador de la diferencia es igual a 4. En el numerador, escribimos el resultado de la diferencia entre 3 y 2 (3-2=1).
Dicho de otro modo, para restar fracciones que tienen el mismo denominador, restamos los numeradores y la diferencia la escribimos sobre el denominador común.
En lugar de restar, también es posible sumar el opuesto de la fracción a restarse, es decir, del sustraendo. Por ejemplo, menos dos tercios, menos, menos cuatro tercios se puede escribir como la suma menos dos tercios más cuatro tercios.
Resta de fracciones con diferente denominador
Para restar fracciones con diferente denominador, es necesario, al igual que con la suma de fracciones, encontrar el mínimo común denominador (mcd) para expresar las fracciones que se restan como fracciones equivalentes con un denominador común. Por ejemplo, al restar un medio de tres cuartos, encontramos que el mínimo común denominador es 4, pues 2 es factor de 4 (2×2=4). Escribimos un medio como una fracción equivalente con denominador igual a 4, un medio es equivalente a dos cuartos. Ahora, podemos restar porque las fracciones están expresadas con un denominador común, restamos 2 de 3, el resultado lo escribimos en el numerador. Luego, escribimos el denominador común en el denominador del resultado.
Encontrar el mínimo común denominador
En ocasiones, determinar el mínimo común denominador no es obvio. Por ejemplo, el mínimo común denominador de 8 y 10 es 40. El procedimiento consiste en encontrar los factores primos de cada uno de los denominadores:
8=2×2×2
10=2×5
Luego, identificamos el máximo número de veces que aparece un factor en una factorización y multiplicamos, 2 aparece tres veces en la factorización de 8 y 5 aparece una vez en la factorización de 10:
mcd=2×2×2×5=40
Tanto 8 como 10 dividen 40 de manera exacta, 40÷8=5 y 40÷10=4. Por ejemplo, para sumar cuatro décimos y dos octavos, procedemos de la siguiente manera:
Comparación de fracciones
Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, la fracción con el mayor numerador es más grande. Cuatro quintos es mayor que un quinto.
Para comparar dos fracciones con diferente denominador, se escriben con un denominador común, preferentemente el mínimo común denominador. Por ejemplo, dos tercios y tres cuartos se escriben como ocho doceavos y nueve doceavos, luego nueve doceavos es mayor que ocho doceavos.
Exponentes con bases fraccionarias
El exponente indica las veces que la fracción se escribe como un factor. Por ejemplo, un tercio al cuadrado es igual a un noveno. El exponente es igual a 2 y la base fraccionaria es un tercio, luego un tercio se escribe como factor dos veces, lo que significa que un tercio multiplica a un tercio.
