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¿Qué es la estimación por intervalo de la proporción poblacional?
Para estimar por intervalo la proporción poblacional p, se suma un margen de error a la estimación puntual, es decir, a la proporción muestral p̅. Además, es posible aproximar mediante una distribución normal a la distribución de la proporción muestral siempre que se cumpla que np≥5 y n(1-p)≥5, donde n es el tamaño de la muestra.
Al estimar por intervalo la proporción poblacional, el 100(1-α)% de los intervalos contienen la proporción poblacional cuando se elige un margen de error igual a:
Pero no se conoce p, pues es lo que se desea estimar. Para solucionar este problema se sustituye la proporción poblacional por la proporción muestral, de tal manera que el margen de error se expresa de la siguiente manera:
Luego, la estimación por intervalo de la proporción poblacional se calcula como sigue:
Donde, 1-α es el coeficiente de confianza y zα/2 es el valor de z que corresponde a un área igual a α/2 en la cola superior de la distribución normal estándar.
Consideremos una empresa que planifica el lanzamiento de una nueva aplicación de finanzas personales y desea saber que proporción de clientes estarían dispuestos a comprarla, para ello encuestó a 500 personas (n=500), 350 dijeron que estarían dispuestas comprar la aplicación (x=350), entonces la proporción muestral se calcula como sigue:
El 70% de las personas comprarían la aplicación. ¿Cuál es la estimación por intervalo de la proporción poblacional con un nivel de confianza de 95%?
La estimación por intervalo de confianza de 95% de la proporción poblacional se encuentra entre 0.66 y 0.74, lo que significa que entre 66% y 74% de los clientes estarían dispuestos a comprar la nueva aplicación de finanzas personales. Al aumentar el tamaño de la muestra se obtendrán márgenes de error menores y, consecuentemente, mejor precisión.
Determinar el tamaño de la muestra
Es posible determinar el tamaño de la muestra dado un margen de error deseado, esto de logra despejando n de la siguiente fórmula:
Donde, E es el margen de error. El valor de la proporción muestral se desconoce, pero es posible utilizar la proporción muestral de un estudio anterior o piloto. También, es posible considerar que la proporción muestral es igual a 0.5, lo que se recomienda cuando no se posee ninguna otra información. La razón es que si el producto p̅(1- p̅) aumenta, el tamaño de la muestra también lo hará, observemos que el valor más grande del producto p̅(1- p̅) se obtiene cuando p̅=0.5, proporcionando el mayor tamaño de la muestra posible. Esto también garantiza que si la proporción muestral es diferente de 0.5, el margen de error será menor que el deseado.
¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra si la administración de la empresa que planifica lanzar la nueva aplicación desea que el margen de error sea igual a 0.02 y con un nivel de confianza de 95%? Para responder esta pregunta, vamos a considerar que la proporción muestral es igual a 0.5.
Para cumplir con el requisito del margen de error deseado y el nivel de confianza, el tamaño de la muestra debe ser de por lo menos 2,401 clientes. ¿Qué pasa si se utiliza la proporción muestral de un estudio previo (p̅=0.7) para calcular el tamaño de la muestra?
El tamaño de la muestra resulta igual a 2,017 clientes, lo que es ligeramente menor a 2,401.