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¿Qué es una distribución de probabilidad discreta?
La manera en que se distribuyen las probabilidades entre los valores de la variable aleatoria es descrita por una distribución de probabilidad. Cuando se trabaja con una variable aleatoria discreta, la función de probabilidad (f(x)) define la distribución de probabilidad y debe cumplir con las siguientes dos condiciones:
La primera expresión establece que la probabilidad de la variable aleatoria debe ser mayor o igual a cero, la segunda expresión establece que la suma de estas probabilidades debe ser igual a 1.
Se analiza el número de productos que compra cada persona que visita una tienda de conveniencia. La variable aleatoria x se define como el número de artículos comprados. Su función de probabilidad es la siguiente:
Se sabe que lo más probable es que un visitante compre dos productos, f(x=2)=0.35, también que la probabilidad de que un visitante no compre nada (f(x=0)) es igual a 0.05. O que la probabilidad de que un cliente compre por lo menos 1 artículo (f(x≥1)) es la suma de f(x=1), f(x=2), f(x=3), f(x=4) y f(x=5).
La función de probabilidad ayuda a entender el comportamiento de compra de los visitantes de la tienda. La función de probabilidad da la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria, por ejemplo, f(x=0)=0.05, f(x=1)=0.25, f(x=2)=0.35, y así sucesivamente. Se analizó el registro de 500 visitantes, luego f(x=0) se calculó dividiendo el número de visitantes que no compraron entre 500 (25/500=0.05), f(x=1) se calculó dividiendo el número de visitantes que compraron un artículo entre 500 (125/500=0.25), y así sucesivamente. La siguiente tabla muestra la información con la que se determinó la función de probabilidad:
Funciones de probabilidad discreta definidas por una fórmula simple
La función de probabilidad se puede describir mediante una fórmula simple. Consideremos a una empresa que analiza cuántas llamadas debe realizar un vendedor para obtener la primera respuesta del prospecto. A continuación, se proporciona la fórmula y la tabla de distribución de probabilidad.
Se observa que la función de probabilidad cumple con las condiciones mencionadas, todas las probabilidades son mayores de cero y su suma es igual a 1. Además, hay 0.5 de probabilidad de que el cliente conteste en la primera llamada, 0.33 de que lo haga en la segunda llamada y 0.17 de que se logre contactarlo en la tercera llamada. La variable aleatoria se definió como el número de llamadas antes de que el cliente conteste.
Al evaluar f(x) para un valor de la variable aleatoria, se obtienen la probabilidad correspondiente, si evaluarnos la fórmula para x=2, tenemos:
Distribución de probabilidad uniforme discreta
Ya se ha mencionado que para describir las funciones de probabilidad se puede utilizar una fórmula, es el caso de la distribución de probabilidad uniforme discreta que se define como 1/n, donde n es el número de valores que puede tomar la variable aleatoria.
Al lanzar una moneda, los resultados posibles de lanzar una moneda son dos (n=2), la función de probabilidad uniforme discreta se expresa como:
Lo que implica que la probabilidad de que el resultado sea cara es igual a 0.5, también que la probabilidad de que el resultado sea cruz es igual a 0.5. Existen seis (n=6) resultados posibles después de lanzar un dado, por lo que la función de probabilidad uniforme discreta es la siguiente:
Cualquiera de los seis resultados de lanzar un dado tiene una probabilidad de ocurrencia de 1/6.
¿Qué es el valor esperado de una variable aleatoria discreta?
El valor esperado (E(x)) de una variable aleatoria es una medida de localización central. Se denota como E(x) o μ. En el caso de una variable aleatoria discreta x, se calcula como un promedio ponderado de la variable aleatoria, en el cual los pesos son las probabilidades f(x).
Consideremos una cafetería que ha registrado el número de cafés que vende al día (x), la siguiente tabla muestra la variable aleatoria x y su probabilidad f(x) en la primera y segunda columna, respectivamente. La tercera columna se calculó como el producto de la variable aleatoria y su correspondiente probabilidad (xf(x)).
Por ejemplo, se multiplica 100×0.05 y se obtiene 5, luego se multiplica 120×0.2 cuyo resultado es 24, y así sucesivamente. El valor esperado se obtiene al sumar estos productos, resultando 143. Se sabe que se pueden vender 100,120, 140, 160 o 180 cafés al día, pero, en el largo plazo, se prevé vender 143 cafés diarios. Si la cafetería opera 7 días a la semana, se espera que las ventas promedio semanales sean de 1001 cafés (7×143=1,001).
¿Qué es la varianza de una variable aleatoria discreta?
La varianza de una variable aleatoria (Var(x)) es una medida de dispersión o variabilidad. Se denota como Var(x) o σ2. Se calcula como un promedio ponderado de los cuadrados de las desviaciones de la variable aleatoria de la media, donde los pesos son las probabilidades.
Retomando el ejemplo de la cafetería, se tiene la siguiente tabla, en la cuarta columna se ha calculado (x-μ)2f(x).
El primer valor de la cuarta columna se determinó elevando al cuadrado la desviación de la variable aleatoria de la media, (100-143)2=1,849, el resultado se multiplicó por su probabilidad, 1,849×0.05=92.45. De manera similar, se obtienen los demás valores de la cuarta columna, los cuales se suman para tener una varianza igual a 411. Para determinar la desviación estándar σ, se calcula la raíz de la varianza:
El valor esperado y la desviación estándar pueden ser de ayuda para la administración de la cafetería, ya sea para programar la compra de materias primas o personal.