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Conjunto de los números reales – esquema, subconjuntos

En este artículo se explica qué es el conjunto de los números reales, cuáles son los conjuntos de números que lo componen, y se presenta un esquema del conjunto de los números reales y sus subconjuntos.

Índice

Qué es el conjunto de los números reales

El conjunto de los números reales está formado por el conjunto de los números racionales y por el conjunto de los números irracionales. Se representa mediante la letra \mathbb R. Para denotar que un número pertenece al conjunto de los números reales, escribimos:

a\in\mathbb R y se lee a pertenece al conjunto de los números reales.

Subconjuntos del conjunto de los números reales

El conjunto de los números naturales es el conjunto de los números que utilizamos para contar y se les conoce de manera intuitiva. Se representa mediante la letra \mathbb N. El conjunto de los números naturales se puede expresar como:

\mathbb N=\{1, 2, 3, 4\dots\}

Y, para denotar que un número pertenece al conjunto de los números naturales, escribimos:

a\in\mathbb N y se lee a pertenece al conjunto de los números naturales.

Es importante señalar que algunos matemáticos incluyen al cero en el conjunto de los números naturales.

El conjunto de los números enteros está formado por el conjunto de los números naturales {1, 2, 3,…}, por el conjunto de los opuestos de los números naturales {-1, -2, -3,…} y por el cero. Se representa mediante la letra \mathbb Z. Además, este conjunto se expresa como:

\mathbb Z=\{\dots,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,\dots\}

Si un número es elemento del conjunto de los números enteros, escribimos:

a\in\mathbb Z y se lee a pertenece al conjunto de los números enteros.

Adicionalmente, si a es un elemento del conjunto de los números enteros positivos, escribimos:

a\in\mathbb Z^{+} y se lee a pertenece al conjunto de los números enteros positivos.

O, en el caso de que a sea un número entero negativo, escribimos:

a\in\mathbb Z^{-} y se lee a pertenece al conjunto de los números enteros negativos.

Los números negativos se utilizan para expresar temperaturas bajos cero, deudas, disminuciones, etc.

El conjunto de los números naturales es un subconjunto de los números enteros, dado que el conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números enteros:

\mathbb N\subset\mathbb Z y se lee el conjunto de los números naturales es un subconjunto de los números enteros.

El conjunto de los números racionales está formado por los números de la forma \frac{a}{b} donde a y b son números enteros y, además, b es diferente de cero. Se representa mediante la letra \mathbb Q. Y se expresa como:

\mathbb Q=\{\frac{a}{b}\mid a, b\in\mathbb Z~y~b\neq0\} y se lee sea Q el conjunto de todos los elementos a entre b, tal que, a y b son números enteros y b es diferente de cero.

Y, para denotar que un número pertenece al conjunto de los números racionales, escribimos:

a\in\mathbb Q y se lee a pertenece al conjunto de los números racionales.

El número racional \frac{a}{b} es un cociente entre enteros del que se puede tener como resultado:

  • Un número entero: \frac{4}{2}=2
  • Un número decimal exacto: \frac{2}{5}=0.4
  • Un número decimal periódico: \frac{1}{3}=0.3333\dots

El conjunto de los números enteros es un subconjunto del conjunto de los números racionales. Y como el conjunto de los números naturales es un subconjunto del conjunto de los números enteros, también lo es del conjunto de los números racionales.

\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R

El conjunto de los números irracionales contiene números reales que no se pueden expresar como un cociente de enteros. Su expresión decimal no es exacta ni periódica, es decir, su parte decimal no termina y tampoco se repite. Se representa mediante la letra \mathbb I. Algunos números irracionales son:

\pi=3.14159265358979\dots

\sqrt{2}=1.4142135623731\dots

\sqrt{3}=1.73205080756888\dots

\mathbb I\subset\mathbb R se lee el conjunto de los números irracionales es subconjunto de los números reales.

Esquema del conjunto de los números reales y sus subconjuntos

El conjunto de los números reales está formado por el conjunto de los números naturales, el conjunto de los números enteros, el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales.

Los números reales resultan de la unión de los números racionales y de los números irracionales. Un número real es un número racional o un número irracional.

Los números racionales resultan de la unión de los números enteros, de los números decimales exactos y de los números decimales periódicos.

Los números enteros resultan de la unión de los números naturales, el cero y de los opuestos de los números naturales.

Además, todo número real se puede representar como un punto en la recta numérica y, cada punto de la recta numérica corresponde a un número real. Se comienza con un punto arbitrario para representar el cero u origen, a la derecha del cero se representan los números positivos y a su izquierda los números negativos.

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Cómo citar

Editor. (18 octubre 2023). Conjunto de los números reales – esquema, subconjuntos. Celeberrima.com. Última actualización el 18 noviembre 2023.