Breve resumen de productos notables (álgebra)

Binomios conjugados

Los binomios conjugados son expresiones como la siguiente:

$(a+b)(a-b)$

Al realizar la multiplicación se obtiene:

$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2$

Reduciendo términos semejantes se llega a:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Cuadrado de una diferencia

El cuadrado de una diferencia se expresa como:

$(a-b)^2$

Debemos desarrollar dicha expresión:

$(a-b)(a-b)$

Es decir que:

$(a-b)^2=(a-b)(a-b)$

Entonces, para desarrollar el cuadrado de una diferencia, se tiene que:

$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2$

Reduciendo términos semejantes se tiene que:

$(a-b)^2=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$

El primer término se eleva al cuadrado, menos el doble del producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

Cuadrado de una suma

El cuadrado de una suma se expresa como:

$(a+b)^2$

Esta expresión es equivalente a:

$(a+b)(a+b)$

Es decir que:

$(a+b)^2=(a+b)(a+b)$

Entonces, para desarrollar el cuadrado de una suma, se tiene que:

$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2$

Reduciendo términos semejantes tenemos:

$(a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$

El primer término se eleva al cuadrado, más el doble del producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

Cubo de la diferencia de un binomio

El cubo de la diferencia de un binomio se expresa como:

$(a-b)^3$

Lo que es equivalente a:

$(a-b)(a-b)^2$

O a:

$(a-b)(a-b)(a-b)$

Realizando la multiplicación de dos de los tres binomios se tiene que:

$(a-b)(a-b)(a-b)=(a^2-ab-ba+b^2)(a-b)$

Reduciendo términos semejantes se tiene:

$(a-b)(a-b)(a-b)=(a^2-2ab+b^2)(a-b)$

Realizando la multiplicación:

$(a^2-2ab+b^2)(a-b)=a^3-a^2b-2a^2b+2ab^2+ab^2-b^3$

Reduciendo términos semejantes:

$(a^2-2ab+b^2)(a-b)=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Es decir que:

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Cubo de la suma de un binomio

El cubo de la suma de un binomio se expresa como:

$(a+b)^3$

Lo que es equivalente a:

$(a+b)(a+b)^2$

O a:

$(a+b)(a+b)(a+b)$

Realizando la multiplicación de dos de los tres binomios se tiene que:

$(a+b)(a+b)(a+b)=(a^2+ab+ba+b^2)(a+b)$

Reduciendo términos semejantes se tiene:

$(a+b)(a+b)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)$

Realizando la multiplicación:

$(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3$

Reduciendo términos semejantes:

$(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Es decir que:

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Producto de dos binomios con un término común

El producto de dos binomios con un término común se expresa como:

$(x+a)(x+b)$

Al desarrollar producto tenemos que:

$(x+a)(x+b)=x^2+bx+ax+ab$

Reduciendo términos semejantes se tiene que:

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

Producto de dos binomios que no tienen un término común

Los productos de dos binomios que no tienen un término común se expresan como:

$(a+b)(c+d)$

Al realizar la multiplicación se tiene que:

$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

Producto de dos binomios con un término semejante y el otro no común

El producto de dos binomios con un término semejante y el otro no común se expresa como:

$(ax+b)(cx+d)$

Al desarrollar producto tenemos que:

$(ax+b)(cx+d)=acx^2+adx+bcx+bd$

Reduciendo términos semejantes:

$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$

Factores cuyo producto da una diferencia de cubos

Los factores cuyo producto da una diferencia de cubos se expresan como:

$(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Al realizar la multiplicación se tiene que:

$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3$

Reduciendo términos semejantes se tiene:

$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

Factores cuyo producto da una suma de cubos

Los factores cuyo producto da una suma de cubos se expresan como:

$(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Al realizar la multiplicación se tiene que:

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3$

Reduciendo términos semejantes se tiene:

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$