Tabla de contenidos
¿Qué es la distribución de probabilidad uniforme?
En una distribución de probabilidad uniforme todos los valores pertenecen a un intervalo continuo y tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Por ejemplo, un paciente puede llegar a un consultorio entre las 10 y 11 de la mañana, en tal caso cualquier hora de llegada dentro del intervalo tiene la misma probabilidad de ocurrencia; un autobús llega cada 20 minutos, en este caso, el tiempo de espera se puede modelar con una distribución uniforme continua con un intervalo entre 0 y 20 minutos.
Sea x una variable aleatoria continua definida como el tiempo de viaje entre dos ciudades, si el tiempo de viaje entre las dos ciudades es cualquier valor entre 100 y 140 minutos y cualquier tiempo de viaje en el intervalo es igual de probable, entonces se trata de una distribución de probabilidad uniforme. En general, la función de densidad de probabilidad uniforme de una variable aleatoria x se define de la siguiente manera:
Donde, a es el valor mínimo en el intervalo de valores que puede tomar la variable aleatoria y b el valor máximo en el intervalo de valores que puede tomar la variable aleatoria, a y b son los extremos del intervalo. Entonces, para el tiempo de viaje entre dos ciudades, tenemos que a=100 y b=140, y la función de densidad de probabilidad uniforme del tiempo de viaje entre las dos ciudades es la siguiente:
La probabilidad de cualquier tiempo de viaje entre las dos ciudades es igual a 0.025.
La gráfica de la función de densidad de probabilidad uniforme del tiempo de viaje entre las dos ciudades es la siguiente:
Cálculo de probabilidades
El área bajo la gráfica de f(x) es rectangular, su base es igual a 40 (140-100), su altura es igual a 0.025 (f(x)=0.025), luego el área es igual a 1 (40×0.025), lo que significa que la probabilidad de que el viaje dure entre 100 y 140 minutos es igual a 1. El área bajo la curva de f(x) y la probabilidad son idénticas, lo cual es válido para cualquier variable aleatoria continua. De este modo, la probabilidad de que la variable aleatoria continua x tome un valor entre a y b se determina calculando el área bajo la curva f(x) y sobre el intervalo entre a y b.
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de viaje dure entre 100 y 120 minutos, P(100≤x≤120)? Para responder esta pregunta calculamos el área bajo la gráfica de f(x) en el intervalo entre 100 y 120, la base del rectángulo es igual a 20 (120-100) y su altura es igual a 0.025 (f(x)=0.025):
La probabilidad de que el viaje entre las dos ciudades dure entre 100 y 120 minutos es igual a 0.5. De manera similar, sabemos que la probabilidad de que el viaje dure entre 107 y 114 minutos es igual a 0.175 (7×0.025), puesto que la base del rectángulo es igual a 7 (114-107) y la altura es igual a f(x).
La probabilidad de que el viaje entre las dos ciudades dure exactamente 130 minutos es igual a cero, pues, como ya se ha visto, la probabilidad es igual al área bajo la curva f(x), y no es posible calcular la base del rectángulo con un único punto (130), en otras palabras, la base del rectángulo es igual a 0. Generalizando, la probabilidad de que la variable aleatoria tome exactamente un punto es igual a cero, de lo cual se deduce que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en un intervalo es la misma sin importar si se incluyen los extremos del intervalo o no.
La altura del rectángulo no es una probabilidad, si f(x) es igual a 2 en el intervalo 0≤x≤0.5, entonces, el área debajo de la curva es igual a 1 (2×0.5=1), el cual es el valor más grande para una probabilidad. Si se desea calcular la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores entre 0.3 y 0.4, se multiplica la base del rectángulo que es igual a 0.1 (0.4-0.3=0.1) por la altura del rectángulo que es igual a 2 (f(x)=2):
La probabilidad buscada es igual a 0.2. La altura de una función de densidad de probabilidad no es una probabilidad. Además, el área total debajo de la curva f(x) es igual a 1, lo que es cierto para cualquier distribución de probabilidad continua.
Valor esperado, varianza y desviación estándar para la distribución de probabilidad continua uniforme
En el caso de la distribución de probabilidad continua uniforme, el valor esperado E(x), la varianza Var(x) y la desviación estándar σ se calculan como sigue:
Para el ejemplo de los tiempos de viaje entre dos ciudades, se tiene:
