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¿Qué es la distribución de probabilidad de Poisson?
Dado un valor esperado μ, la distribución de probabilidad de Poisson se utiliza para estimar la probabilidad de ocurrencia de un número de eventos en un intervalo de tiempo o espacio, de tal modo que: la probabilidad de ocurrencia es la misma para dos intervalos de la misma magnitud; la ocurrencia en un intervalo es independiente de la ocurrencia en cualquier otro intervalo, del mismo modo, la no ocurrencia en un intervalo es independiente de la no ocurrencia en cualquier otro intervalo; la variable aleatoria discreta x toma valores en una sucesión infinita de números no negativos, pues el número de ocurrencias no tiene límite superior (x=0, 1, 2,…).
La distribución de probabilidad de Poisson es útil para estimar el número de clientes que entran por hora en una tienda, el número de llamadas recibidas en un call center por hora, el número de accidentes de tráfico en una intersección por mes, el número de solicitudes por minuto a un servidor, etc.
La función de probabilidad de Poisson se define de la siguiente manera:
Donde, f(x) es la probabilidad de x ocurrencias en un intervalo de tiempo o espacio, μ es el valor esperado de ocurrencias en el intervalo, y e es una constante igual a 2.71828.
Valor esperado y varianza para la distribución de probabilidad de Poisson
El valor esperado (E(x)) y la varianza (Var(x)) de la distribución de Poisson son iguales, esto es:
Ejemplo distribución de Poisson para un intervalo de tiempo
Consideremos una librería en línea, los clientes descargan 100 libros cada hora (μ=100). ¿Cuál es la probabilidad de que se descarguen exactamente 110 libros en una hora? La variable aleatoria x se define como el número de descargas por hora en la tienda en línea de la librería, luego la función de probabilidad es la siguiente:
Estimando la probabilidad de que se realicen exactamente 110 descargas, tenemos:
Es poco probable que se realicen exactamente 110 descargas en un intervalo de una hora. Dado que el valor esperado y la varianza son iguales, tenemos que:
En la siguiente gráfica, se muestran las probabilidades asociadas al número de descargas por hora en el intervalo 0≤x≤150:
¿Qué pasa si la gerencia de la librería desea conocer la probabilidad de ocurrencia de exactamente 30 descargas en 15 minutos? Primero, ajustamos el valor esperado μ al nuevo intervalo de tiempo, si en una hora se esperan 100 descargas, en 15 minutos se esperan 25 descargas. La función de probabilidad de Poisson se escribe de la siguiente manera:
Estimando la probabilidad de ocurrencia de 30 descargas en 15 minutos, tenemos:
La probabilidad de que se realicen exactamente 30 descargas en 15 minutos es igual a 0.045, lo cual indica que es poco probable. Las probabilidades asociadas al número de descargas en 15 minutos para el intervalo 0≤x≤100 se muestran en la siguiente gráfica:
De manera similar, podemos estimar la probabilidad de que se realice exactamente una descarga en un minuto, si se registran 100 descargas en una hora, en un minuto se realizan 1.66 descargas (1.66…=5/3)
Esta información puede ser útil para planificar la infraestructura tecnológica, por ejemplo, el número de servidores y sus recursos para evitar caídas de la tienda en línea.
Ejemplo distribución de Poisson para un intervalo de espacio
Consideremos una fábrica textil cuyos registros históricos para cierto tipo de tela indican que se encuentran 5 defectos por cada metro lineal. ¿Cuál es la probabilidad de que un metro lineal de la tela elegido aleatoriamente tenga exactamente 3 defectos? La distribución de probabilidad de Poisson es la siguiente:
Calculando la probabilidad de encontrar exactamente 3 defectos en un metro lineal de tela, tenemos que:
La probabilidad de encontrar exactamente 3 defectos en un metro lineal es igual a 0.14. El valor esperado, la varianza y la desviación estándar se calculan a continuación:
La probabilidad de que no se encuentre ningún defecto en un metro lineal de tela se calcula como sigue:
Este resultado implica que existe una probabilidad muy alta de encontrar por lo menos un defecto en un metro lineal de tela:
La siguiente gráfica muestra las probabilidades de encontrar defectos en un metro lineal de tela en el intervalo 0≤x≤20.
En este caso, la información que proporciona la distribución de probabilidad de Poisson es útil para el control de calidad, un aumento en la tasa de defectos puede ser un síntoma de desgaste en la maquinaria o equipo, falta de capacitación, etc. También, es importante para la gestión de los costos asociados a los reprocesos, desperdicios o devoluciones por mala calidad.
Uso de Excel para la distribución de probabilidad de Poisson
La función POISSON.DIST tiene tres argumentos, x corresponde al valor de la variable aleatoria, media es el valor de μ, y acumulado es igual a 0 para calcular la función de probabilidad o a 1 para obtener la función de probabilidad acumulada. La siguiente imagen muestra la manera en que escribimos las fórmulas en una hoja de Excel:
Los resultados son los siguientes:
Se han resaltado las probabilidades calculadas para el ejemplo del número de defectos en un metro lineal de tela, corroborando nuestros resultados.