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Experimento binomial
Un experimento binomial consiste en n ensayos idénticos, en cada ensayo hay dos resultados posibles —éxito y fracaso—, p denota la probabilidad de éxito, 1-p denota la probabilidad de fracaso, las probabilidades de éxito y fracaso permanecen constantes en cada ensayo, y los ensayos son independientes.
Distribución de probabilidad binomial
En una distribución de probabilidad binomial, la variable aleatoria x denota el número de éxitos en n ensayos, por lo que x toma los valores 0, 1, 2,…,n. Si lanzamos una moneda tres veces, definimos la variable aleatoria x como el número de veces que obtenemos cara en tres ensayos idénticos, luego la variable aleatoria puede tomar los valores 0, 1, 2 y 3. En cada uno de los ensayos existen dos resultados posibles —cara o cruz—, considerando cara (H) como éxito y cruz (T) como fracaso. Además, la probabilidad de obtener cara o cruz permanece constante en cada uno de los tres ensayos, p=0.5 y 1-p=0.5. Por último, los ensayos son independientes, puesto que el resultado de un lanzamiento no afecta el resultado de otros lanzamientos.
¿Cuál es la probabilidad de obtener cuando menos 2 caras en los tres lanzamientos, P(x≥2)? El espacio muestral es el siguiente:
HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT
Para calcular el número de resultados en los que hay x éxitos en n ensayos, se utiliza la siguiente fórmula:
El número de resultados experimentales en los que se obtienen exactamente 2 (x=2) y 3 (x=3) caras en 3 (n=3) lanzamientos son:
Hay tres resultados experimentales en los que se obtienen exactamente dos caras: HHT, HTH y THH. Hay solamente un resultado experimental en el que se obtienen exactamente tres caras: HHH. Ahora, calculamos las probabilidades de cada uno de los resultados experimentales, la probabilidad de obtener el resultado HHT se determina multiplicando las probabilidades del resultado en cada ensayo, es decir, la probabilidad de obtener cara en los primeros dos lanzamientos y cruz en el tercero, pp(1-p).
De la misma manera, se determina la probabilidad de obtener los resultados HTH y THH:
Observe que, en los tres casos, se obtuvo la misma probabilidad (0.125). En un experimento binomial, todas las series de resultados en las que hay x éxitos en n ensayos tienen la misma probabilidad de ocurrencia y se calcula con la siguiente fórmula:
Entonces, la probabilidad de ocurrencia de cualquier resultado experimental con 2 caras (x=2) en tres lanzamientos (n=3) es la siguiente:
Función de probabilidad binomial
La función de probabilidad binomial se obtiene multiplicando el número de resultados en un experimento binomial por su respectiva probabilidad de ocurrencia.
Entonces, la probabilidad de obtener 0, 1, 2 o tres caras en tres lanzamientos se calcula con la función de probabilidad binomial, la siguiente tabla muestra la probabilidad para cada resultado posible:
Por ejemplo, la probabilidad de obtener 0 caras (x=0) en tres lanzamientos (n=3) se calcula de la siguiente manera:
Entonces, la probabilidad de obtener cuando menos 2 caras (x≥2) en 3 lanzamientos (n=3), se calcula como sigue:
La función de probabilidad binomial es útil siempre que se enfrente un problema con las características de un experimento binomial, se conozca el número de ensayos y la probabilidad de éxito.
Valor esperado y varianza en la distribución binomial
El valor esperado (E(x)) se calcula multiplicando el número de ensayos n por la probabilidad de éxito p. La varianza (Var(x)) se calcula multiplicando el número de ensayos por la probabilidad de éxito y por la probabilidad de fracaso (1-p). La desviación estándar σ es igual a la raíz de la varianza.
Para el caso de los tres lanzamientos, se tiene que:
Aunque no es posible obtener media cara, debemos interpretar que en 300 lanzamientos se espera obtener 150 caras.
Ejemplo distribución binomial
Consideremos a un asesor inmobiliario que atiende a 10 personas al día, sólo el 5% de las asesorías se traducen en una venta. ¿Cuál es la probabilidad de que concrete al menos 2 ventas en un día?
Primero, identificamos los parámetros, se tienen 10 ensayos al día (n=10), pues atiende a 10 personas diariamente; el 5% de las asesorías se traducen en una venta, lo que significa que la probabilidad de éxito es 0.05 (p=0.05) y que la probabilidad de fracaso es 0.95 (1-0.05=0.95). La probabilidad de que logre por lo menos 2 ventas es igual a 1 menos la probabilidad de que realice cuando mucho una venta.
Recurrimos a la función de probabilidad binomial para calcular P(x=0) y P(x=1):
Luego, sustituimos los valores para calcular la probabilidad de que se cierren por lo menos dos ventas:
La probabilidad de que el agente inmobiliario logre cerrar por lo menos 2 ventas en 10 asesorías diarias es igual a 0.08. Ahora, calculamos el valor esperado, la varianza y la desviación estándar.
Se espera que el agente realice 1 venta cada dos días, puesto que el valor esperado es igual a 0.5. Si el agente trabaja 250 días en un año, se espera que haya concretado 125 ventas al final del año.
Uso de Excel para la distribución de probabilidad binomial
La función DISTR.BINOM.N tiene cuatro argumentos, núm_éxito corresponde al valor de la variable aleatoria, ensayos es el valor de n, prob_éxito es el valor de p, y acumulado es igual a 0 para calcular la función de probabilidad o a 1 para obtener la función de probabilidad acumulada. La siguiente imagen muestra la manera en que escribimos las fórmulas en una hoja de Excel para el ejemplo del agente inmobiliario previamente descrito:
El resultado es el siguiente:
