Teorema de Bayes, fórmula, probabilidad

¿Qué es el teorema de Bayes?

La necesidad de revisar las probabilidades aparece con el surgimiento de nueva información, a las probabilidades revisadas se les conoce como probabilidades posteriores, las cuales se pueden calcular gracias al teorema de Bayes. Consideremos a dos proveedores, la probabilidad de que el componente esté defectuoso (D) dado que lo fabricó el proveedor 1 (P₁) es 0.03 y la probabilidad de que el componente esté defectuoso dado que lo fabricó el proveedor 2 (P₂) es 0.04, entonces:

El complemento del evento defectuoso se denota como (D^c), lo que significa que el componente está en buen estado. El proveedor 1 satisface el 70% de las necesidades del componente y el proveedor 2 el 30% restante, luego si un componente se toma aleatoriamente, se tiene que las probabilidades de que haya sido abastecido por uno u otro proveedor son:

Hay cuatro puntos muestrales, su probabilidad se determina con la ley de la multiplicación:

Si se toma una pieza aleatoriamente y el componente está defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por el proveedor 1? La probabilidad condicional establece que:

Por la ley de la multiplicación sabemos que el numerador se puede expresar como:

En cuanto al denominador, sólo hay dos maneras en que un componente esté defectuoso, que haya sido abastecido por uno u otro de los proveedores:

Entonces, la probabilidad de que un componente esté defectuoso se calcula sumando la probabilidad de que esté defectuoso y lo haya suministrado el proveedor 1 más la probabilidad de que esté defectuoso y lo haya abastecido el proveedor 2:

Reescribiendo la probabilidad condicional se tiene que:

El teorema de Bayes establece lo siguiente:

Regresando el ejemplo, se sustituyen los valores para determinar la probabilidad de que un componente haya sido fabricado por el proveedor 1 dado que está defectuoso:

Procedemos de manera similar para calcular la probabilidad de que un componente haya sido fabricado por el proveedor 2 dado que está defectuoso:

En un inicio, la probabilidad de tomar un componente y que fuera del proveedor 1 era igual a 0.7, pero dada la nueva información —que el componente está defectuoso—, la probabilidad es igual a 0.64. Algo similar ocurre con el proveedor 2, la probabilidad se ha actualizado a 0.36 debido a la nueva información.

Cuando los eventos son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, es posible aplicar el teorema de Bayes, el cual se generaliza para n eventos de la siguiente manera:

Método tabular para el teorema de Bayes

El método tabular facilita los cálculos, comenzamos escribiendo las probabilidades previas para cada uno de los dos proveedores. En la siguiente columna, escribimos las probabilidades condicionales, es decir, la probabilidad de que el componente esté defectuoso dado que lo abasteció el proveedor i. Luego, las probabilidades conjuntas, las cuales corresponden a la probabilidad de que el componente haya sido fabricado por el proveedor i y que esté defectuoso. Después, se suman las probabilidades conjuntas (0.033), este resultado es la probabilidad de que el producto esté defectuoso. Finalmente, para obtener las probabilidades posteriores, se divide cada una de las probabilidades conjuntas entre la probabilidad de que el producto esté defectuoso.

Ejemplo del teorema de Bayes

En el medio tiempo, un equipo pierde 2-0, ¿cuál es la probabilidad de que termine ganado el partido dado que está perdiendo por ese marcador? Gracias a la información histórica de la liga, se sabe que el equipo tiene una probabilidad de ganar un partido (P(A)) igual a 0.6, también que la probabilidad de que cualquier equipo gane el partido después de ir perdiendo 2-0 (P(B)) es igual a 0.15, y que la probabilidad de que el equipo esté perdiendo en el medio tiempo con un marcador 2-0 dado que terminará ganando el partido (P(B|A)) es igual a 0.08.

Sustituyendo estos valores en el teorema de Bayes, se tiene:

Antes de comenzar el partido, la probabilidad de que el equipo gane es igual a 0.6, pero, al revisar las probabilidades con la nueva información, se tiene que la probabilidad de que el equipo gane dado que está perdiendo en el medio tiempo se ha reducido a 0.32.