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Definición y ecuación de hipérbola equilátera

Se explica qué es una hipérbola equilátera y se proporciona su ecuación cuando tiene centro en el origen, cuando tiene centro fuera del origen, cuando su eje focal coincide con un eje coordenado y cuando su eje focal forma un ángulo de 45o con los ejes coordenados.

Índice

Definición de una hipérbola equilátera

Una hipérbola equilátera es aquella en la que sus ejes transverso y conjugado son de la misma longitud, lo que implica que los semiejes a y b son iguales.

Ecuación de la hipérbola equilátera

Si se trata de una hipérbola con centro en el origen y eje focal coincidente con el eje X, su ecuación es de la forma:

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Y dado que sus semiejes transverso y conjugado son iguales (a=b):

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1

Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por el cuadrado de a, se tiene:

x^{2}-y^{2}=a^{2}

La ecuación de la hipérbola equilátera con centro en el origen y eje focal coincidente con el eje Y, se obtiene mediante un procedimiento análogo al anterior:

y^{2}-x^{2}=a^{2}

De manera similar, se determina la ecuación de la hipérbola equilátera con centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje X

\left(x-h\right)^{2}-\left(y-k\right)^{2}=a^{2}

Por último, la ecuación de la hipérbola equilátera con centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje Y

\left(y-k\right)^{2}-\left(x-h\right)^{2}=a^{2}

Si los ejes focal y normal forman un ángulo de 45o con los ejes coordenados, y q es una constante diferente de cero, entonces, la ecuación de la hipérbola equilátera con centro en el origen es:

xy=q

Cuando q es mayor de cero, el eje focal tiene pendiente positiva.

Si q es menor de cero, el eje focal tiene pendiente negativa.

Para una hipérbola equilátera con centro C(h,k), se tiene:

\left(x-h\right)\left(y-k\right)=q

Si q es positiva, el eje focal tiene pendiente positiva.

Pero, si q es negativa, el eje focal tiene pendiente negativa.

Ejemplo

Determinar la ecuación de la hipérbola equilátera que contiene al punto P(7,2) y tiene centro C(6,6).

Solución:

Con la información que se proporciona se sabe que la ecuación de la hipérbola equilátera con centro C(h,k) fuera del origen tiene la forma:

\left(x-h\right)\left(y-k\right)=q

Si h=6 y k=6, se tiene:

\left(x-6\right)\left(y-6\right)=q

Dado que el punto P(7,2) pertenece a la hipérbola, debe satisfacer la ecuación:

\left(7-6\right)\left(2-6\right)=q

\left(1\right)\left(-4\right)=q

q=-4

Entonces, la ecuación de la hipérbola equilátera solicitada es:

\left(x-6\right)\left(y-6\right)=-4

Como q es menor de cero, el eje focal tiene pendiente negativa.

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Cómo citar

García, Sergio. (15 enero 2024). Definición y ecuación de hipérbola equilátera. Celeberrima.com. Última actualización el 15 enero 2024.