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Suma de matrices (adición) – Definición y ejemplos

Para sumar dos matrices, A y B, del mismo orden se procede sumando los elementos correspondientes de ambas matrices, es decir, se suman los pares de elementos que ocupan la misma posición en las matrices. Hay que notar que si las matrices no son del mismo orden, entonces no se pueden sumar.

La definición de la suma o adición de matrices es la siguiente:

Sean dos matrices A y B, ambas de orden mxn, la suma definida como A+B es una matriz C de orden mxn cuyos elementos se definen por:

c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}

para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.

Lo que de manera extendida podemos escribir como:

C=A+B=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \ldots & a_{1n}+b_{1n} \\  a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \ldots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \ldots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}

Ejemplo 1:

Sean las siguientes matrices:

A=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & 4\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 4 & 1\\ 6 & 3\end{bmatrix}

La suma se establece como:

A+B=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 4 & 1\\ 6 & 3\end{bmatrix}

A+B=\begin{bmatrix} 2+4 & 0+1\\ -1+6 & 4+3\end{bmatrix}

Al realizar las operaciones se tiene:

A+B=\begin{bmatrix} 6 & 1\\ 5 & 7\end{bmatrix}

Entonces, la matriz C=A+B es:

C=\begin{bmatrix} 6 & 1\\ 5 & 7\end{bmatrix}

Es importante destacar que se sumó elemento a elemento, tal como se definió, es decir, para obtener los elementos de la matriz C se siguió el siguiente procedimiento:

Para el elemento del primer renglón y primer columna de C se sumaron los correspondientes elementos del primer renglón y primer columna de las matrices A y B:

c_{11}=a_{11}+b_{11}=2+4=6

Y así, sucesivamente:

c_{12}=a_{12}+b_{12}=0+1=1

c_{21}=a_{21}+b_{21}=-1+6=5

c_{22}=a_{22}+b_{22}=4+3=7

Lo que es consistente con la definición dada para la suma de matrices:

c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}

Ejemplo 2:

Sean:

A=\begin{bmatrix} 4 & 10 & -2\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 6\end{bmatrix}

La suma C=A+B se establece como:

A+B=\begin{bmatrix} 4 & 10 & -2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & -1 & 6\end{bmatrix}

A+B=\begin{bmatrix} 4+0 & 10+(-1) & -2+6\end{bmatrix}

A+B=\begin{bmatrix} 4 & 9 & 4\end{bmatrix}

Entonces, la matriz renglón C es:

C=\begin{bmatrix} 4 & 9 & 4\end{bmatrix}

El procedimiento que se siguió es el mismo que en el ejemplo anterior, se siguió la regla:

c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}

Ejemplo 3:

Sean las matrices:

A=\begin{bmatrix} 5 & 2\\ -4 & 7\\ -4 & 1\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} -5 & -3\\ 2 & 6\\ -4 & 2\end{bmatrix}

Para obtener C=A+B se tiene:

A+B=\begin{bmatrix} 5 & 2\\ -4 & 7\\ -4 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -5 & -3\\ 2 & 6\\ -4 & 2\end{bmatrix}

A+B=\begin{bmatrix} 5+(-5) & 2+(-3)\\ -4+2 & 7+6\\ -4+(-4) & 1+2\end{bmatrix}

A+B=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ -2 & 13\\ -8 & 3\end{bmatrix}

Entonces, la matriz C es:

C=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ -2 & 13\\ -8 & 3\end{bmatrix}

Es importante notar que se respetan las reglas de los signos, por ejemplo, para calcular el elemento en el primer renglón y primer columna de C se tiene que:

c_{11}=a_{11}+b_{11}=5+(-5)

c_{11}=a_{11}+b_{11}=5-5=0

Los elementos c_{12} y c_{31} se calcularon de la misma manera.

Ejemplo 4:

Sean las matrices:

A=\begin{bmatrix} 2x & 1 & y\\ 12 & -6 & 0\\ -4 & -2 & x\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 3x & -5 & -y\\ 0 & -6 & 3\\ 6 & -3 & x\end{bmatrix}

Se calcula C=A+B:

C=\begin{bmatrix} 2x & 1 & y\\ 12 & -6 & 0\\ -4 & -2 & x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3x & -5 & -y\\ 0 & -6 & 3\\ 6 & -3 & x\end{bmatrix}

C=\begin{bmatrix} 2x+3x & 1+(-5) & y+(-y)\\ 12+0 & -6+(-6) & 0+3\\ -4+6 & -2+(-3) & x+x\end{bmatrix}

C=\begin{bmatrix} 5x & -4 & 0\\ 12 & -12 & 3\\ 2 & -5 & 2x\end{bmatrix}

Este ejemplo muestra la suma o adición de matrices cuando alguno de los elementos es una literal.

Ejemplo 5:

Sean las matrices:

A=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 8 & 0\\10 & -2\end{bmatrix}

C=\begin{bmatrix} 0 & -1\\3 & -4\end{bmatrix}

La suma A+B+C=D se establece como:

A+B+C=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 8 & 0\\10 & -2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & -1\\3 & -4\end{bmatrix}

A+B+C=\begin{bmatrix} 1+8+0 & 2+0+(-1)\\ 3+10+3 & 4+(-2)+(-4)\end{bmatrix}

Al realizar las operaciones se tiene la matriz D:

D=\begin{bmatrix} 9 & 1\\ 16 & -2\end{bmatrix}

Ejemplo 6:

Sean las matrices:

A=\begin{bmatrix} -5 & 10 & 8\\ 1 & 11 & 9\\ 2 & -1 & 0\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} -9 & 10 & -9 & 15\\ 1 & 0 & 0 & 2\\ 3 & -2 & 11 & 13 \\ -7 & 2 & 0 & -8\end{bmatrix}

Las matrices A y B no son conformables para la suma porque son de diferente orden, la matriz A tiene orden 3×3 y la matriz B tiene orden 4×4, entonces la suma A+B no existe.

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Cómo citar

Editor. (26 enero 2020). Suma de matrices (adición) – Definición y ejemplos. Celeberrima.com. Última actualización el 09 marzo 2022.