La propiedad de elemento inverso para la suma de matrices establece que para una matriz A de orden mxn existe una matriz -A de orden mxn tal que al realizar la suma A+(-A) se obtiene una matriz O en la que todos los elementos que la componen son iguales a cero.
Es muy importante que las matrices sean del mismo orden para que sean conformables para la suma.
La definición de esta propiedad es la siguiente:
Sea la matriz A de orden mxn, el resultado de la suma A+(-A) será una matriz en la que todos los elementos son iguales a cero:
Recordemos que para sumar dos matrices se suman los elementos correspondientes, es decir, aquellos que ocupan la misma posición en ambas matrices:
para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.
Es claro que todos los elementos de la matriz O son iguales a cero:
para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.
Además, los elementos de la matriz -A son los mismos en la matriz A, pero con signo contrario, por ejemplo:
Entonces, la matriz -A se puede obtener a partir la multiplicación de un escalar igual a 1 por la matriz A.
Ejemplo 1:
Sea la matriz A:
La propiedad del elemento inverso establece que:
Entonces, esribimos:
Se verifica que la matriz A cumple la propiedad de elemento inverso para la suma de matrices.
Ejemplo 2:
Sea la matriz A:
Entonces, comenzamos estableciendo la propiedad del elemento inverso para la matriz A:
Realizamos las operaciones:
Finalmente, se verifica que la matriz A cumple la propiedad del elemento inverso para la suma.
Ejemplo 3:
Sea la matriz A:
Establecemos la propiedad del elemento inverso para la matriz A:
Realizamos las operaciones:
Del mismo modo que en los ejemplos anteriores, se cumple la propiedad del elemento inverso para la matriz A.
Ejemplo 4:
Sea la matriz A:
Primero, establecemos la propiedad del elemento inverso para la suma de matrices del siguiente modo:
Al realizar las operaciones tenemos que:
Y obtenemos:
Hemos verificado que se cumple la propiedad del elemento inverso para la suma de matrices para la matriz A.
Ejemplo 5:
Sea la matriz A:
Ahora, establecemos la propiedad del elemento inverso para la suma de matrices para la matriz A:
Realizamos las operaciones:
Al final obtenemos una matriz O con todos sus elementos iguales a cero: