Propiedad elemento inverso suma de matrices - Definición y ejemplos

La propiedad de elemento inverso para la suma de matrices establece que para una matriz A de orden mxn existe una matriz -A de orden mxn tal que al realizar la suma A+(-A) se obtiene una matriz O en la que todos los elementos que la componen son iguales a cero.

Es muy importante que las matrices sean del mismo orden para que sean conformables para la suma.

La definición de esta propiedad es la siguiente:

Sea la matriz A de orden mxn, el resultado de la suma A+(-A) será una matriz en la que todos los elementos son iguales a cero:

$A+(-A)=O$

Recordemos que para sumar dos matrices se suman los elementos correspondientes, es decir, aquellos que ocupan la misma posición en ambas matrices:

$a_{ij}+(-a_{ij})=o_{ij}$

para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.

Es claro que todos los elementos de la matriz O son iguales a cero:

$o_{ij}=0$

para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.

Además, los elementos de la matriz -A son los mismos en la matriz A, pero con signo contrario, por ejemplo:

$A=\begin{bmatrix} 2 & -5\\ 8 & 0\end{bmatrix}$

$-A=\begin{bmatrix} -2 & 5\\ -8 & 0\end{bmatrix}$

Entonces, la matriz -A se puede obtener a partir la multiplicación de un escalar igual a 1 por la matriz A.

Ejemplo 1:

Sea la matriz A:

$A=\begin{bmatrix} -2 & 8\\ 0 & 5\end{bmatrix}$

La propiedad del elemento inverso establece que:

$A+(-A)=O$

Entonces, esribimos:

$A+(-A)=\begin{bmatrix} -2 & 8\\ 0 & 5\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 2 & -8\\ 0 & -5\end{bmatrix}$

$A+(-A)=\begin{bmatrix} -2+2 & 8-8\\ 0+0 & 5-5\end{bmatrix}$

$A+(-A)=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}$

Se verifica que la matriz A cumple la propiedad de elemento inverso para la suma de matrices.

Ejemplo 2:

Sea la matriz A:

$A=\begin{bmatrix} 9 & -11 & 2\\ 4 & -6 & 17\\ 10 & -6 & 1\end{bmatrix}$

Entonces, comenzamos estableciendo la propiedad del elemento inverso para la matriz A:

$A+(-A)=\begin{bmatrix} 9 & -11 & 2\\ 4 & -6 & 17\\ 10 & -6 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -9 & 11 & -2\\ -4 & 6 & -17\\ -10 & 6 & -1\end{bmatrix}$

Realizamos las operaciones:

$A+(-A)=\begin{bmatrix} 9+(-9) & -11+11 & 2+(-2)\\ 4+(-4) & -6+6 & 17+(-17)\\ 10+(-10) & -6+6 & 1+(-1)\end{bmatrix}$

$A+(-A)=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

Finalmente, se verifica que la matriz A cumple la propiedad del elemento inverso para la suma.

Ejemplo 3:

Sea la matriz A:

$A=\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -1 & 8\end{bmatrix}$

Establecemos la propiedad del elemento inverso para la matriz A:

$A+(-A)=\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -1 & 8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & 1 & -8\end{bmatrix}$

Realizamos las operaciones:

$A+(-A)=\begin{bmatrix} \frac{1}{3}+(-\frac{1}{3}) & -1+1 & 8+(-8)\end{bmatrix}$

$A+(-A)=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

Del mismo modo que en los ejemplos anteriores, se cumple la propiedad del elemento inverso para la matriz A.

Ejemplo 4:

Sea la matriz A:

$A=\begin{bmatrix} 4x & -1 & -z\\ xy & 3 & y\\ -4z & -10 & x\end{bmatrix}$

Primero, establecemos la propiedad del elemento inverso para la suma de matrices del siguiente modo:

$A+(-A)=\begin{bmatrix} 4x & -1 & -z\\ xy & 3 & y\\ -4z & -10 & x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -4x & 1 & z\\ -xy & -3 & -y\\ 4z & 10 & -x\end{bmatrix}$

Al realizar las operaciones tenemos que:

$A+(-A)=\begin{bmatrix} 4x+(-4x) & -1+1 & -z+z\\ xy+(-xy) & 3+(-3) & y+(-y)\\ -4z+4z & -10+10 & x+(-x)\end{bmatrix}$

Y obtenemos:

$A+(-A)=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0)\end{bmatrix}$

Hemos verificado que se cumple la propiedad del elemento inverso para la suma de matrices para la matriz A.

Ejemplo 5:

Sea la matriz A:

$A=\begin{bmatrix} \epsilon & -\pi & -7\\ \mu & 1 & 2\\ \pi & -\epsilon & \psi\end{bmatrix}$

Ahora, establecemos la propiedad del elemento inverso para la suma de matrices para la matriz A:

$A+(-A)=\begin{bmatrix} \epsilon & -\pi & -7\\ \mu & 1 & 2\\ \pi & -\epsilon & \psi\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\epsilon & \pi & 7\\ -\mu & -1 & -2\\ -\pi & \epsilon & -\psi\end{bmatrix}$

Realizamos las operaciones:

$A+(-A)=\begin{bmatrix} \epsilon+(-\epsilon) & -\pi+\pi & -7+7\\ \mu+(-\mu) & 1+(-1) & 2+(-2)\\ \pi+(-\pi) & -\epsilon+\epsilon & \psi+(-\psi)\end{bmatrix}$

Al final obtenemos una matriz O con todos sus elementos iguales a cero:

$A+(-A)=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

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