Modelo EOQ: fórmulas, costos y ejemplo práctico

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Qué es el modelo EOQ

Una tiendita de abarrotes de barrio vende muchas botellas de refresco todos los días, pero el dueño no quiere tener el almacén lleno porque eso cuesta dinero en renta, luz y también exite el riesgo de que el producto caduque o se dañe, lo que también representa costos. Al mismo tiempo, tampoco quiere estar pidiendo al proveedor cada dos días, porque cada pedido conlleva gastos de transporte, papeleo y tiempo. Ahí es donde entra el modelo de Cantidad Económica a Ordenar, o EOQ por sus siglas en inglés (Economic Order Quantity). Es una herramienta clásica y muy útil de administración de inventarios que te ayuda a determinar cuántas botellas pedir cada vez para incurrir en el menor costo posible.

Este fue propuesto por primera vez el ingeniero Ford Whitman Harris en 1913 en un artículo de la revista Factory, y luego lo popularizó el consultor R.H. Wilson. Desde entonces, ha sido uno de los pilares de la gestión de operaciones.

El modelo considera dos grandes costos. Por un lado están los costos de ordenar o de pedir, cada vez que llamas al proveedor, pagas envío, llenas formas o manejas la mercancía. Si pides poco y muy seguido, el costo por ordenar se dispara porque haces muchos pedidos al año. Por otro lado están los costos de mantener el inventario, almacenar cosas cuesta, se paga el espacio, el seguro, intereses del dinero inmovilizado, posible robo o caducidad. Si pides grandes cantidades, tu almacén se llena, el promedio de inventario es alto, consecuentemente, pagas más por mantener el inventario, en otras palabras, por la tenencia del inventario.

El modelo EOQ busca equilibrar estos dos costos. Encuentra la cantidad (Q) donde el costo por ordenar más el costo de mantener el inventario es mínimo. En ese punto, curiosamente, el costo anual de ordenar es igual al costo anual de mantener el inventario. El modelo es una balanza para determinar la cantidad óptima a ordenar, que es la que minimiza los costos totales relacionados con el inventario, ayudando a las empresas a mantener un equilibrio entre tener suficiente inventario para satisfacer la demanda y minimizar los costos de almacenamiento y pedido. Es decir, ofrecer un buen nivel del servicio con el menor nivel de inventario posible.

Fórmulas del modelo EOQ

Se consideran tres costos: costo de compra $cD$ , costo por ordenar $\frac{AD}{Q}$ y costo por mantener $\frac{hQ}{2}$ . La suma de estos tres costos da como resultado el costo total anual promedio:

$K(Q)=cD+\frac{AD}{Q}+\frac{hQ}{2}$

Donde:

c es el costo unitario
D es la demanda anual (en este modelo se supone constante y conocida)
A es el costo por ordenar una vez (costos administrativos, de transporte y manejo, etc.)
Q es la cantidad de unidades que se ordenan en cada pedido
h es el costo anual por mantener en inventario una unidad por unidad de tiempo (costos de almacenamiento, seguros, deterioro, etc.)

El objetivo es minimizar los costos asociados al inventario. Entonces, se deriva respecto a Q, se iguala a cero y se despeja Q para obtener la siguiente fórmula:

$Q^*=\sqrt{\frac{2AD}{h}}$

Q* es la cantidad económica de pedido óptima, es decir, aquella que minimiza los costos. Al sustituir Q* en K(Q), se obtiene el costo total anual promedio mínimo K(Q*):

$K(Q^*)=cD+\frac{AD}{Q^*}+\frac{hQ^*}{2}$

Las decisiones fundamentales de este modelo son cuánto pedir (Q*) y cuándo pedir; la variable de decisión es Q.

Si la tiendita vende 1,200 botellas de refresco al año (D=1,200). Cada pedido al proveedor cuesta $50 en papeleo y envío (A=50). Y mantener una botella en el almacén cuesta $2 al año (h=2). Entonces:

$Q^*=\sqrt{\frac{2(50)(1200)}{2}}$

$Q^*=\sqrt{60000}$

$Q^*=244.95\approx245$

Por lo tanto, la decisión es pedir 245 botellas cada vez, se redondea al entero inmediato superior porque no se puede pedir 0.95 de botella. La política de pedir 245 botellas de refresco cada vez conduce a realizar 5 pedidos cada año.

$n^*=\frac{D}{Q^*}$

$n^*=\frac{1200}{245}$

$n^*=4.90$

Del mismo modo el inventario promedio depende de la cantidad óptima a ordenar.

$I_{promedio}=\frac{Q^*}{2}$

$I_{promedio}=\frac{245}{2}$

$I_{promedio}=122.5$

Este modelo es útil para cualquier negocio, desde un taller mecánico que maneja refacciones hasta una enorme fábrica. Nos ayuda a ahorrar dinero.

Supuestos del modelo EOQ

El modelo EOQ parte de varias suposiciones. Primero, se asume que la demanda del producto es uniforme y conocida. Esto significa que los clientes compran la misma cantidad de forma constante y predecible, sin variaciones por temporadas o promociones. No hay sorpresas; la demanda es estable. Así, puedes planear con tranquilidad.

Asimismo, el modelo considera que, cuando haces un pedido, el proveedor te lo entrega en el mismo instante. ¿Necesitas más botellas de refresco? Listo, ya están en tu almacén. Esto se conoce como tasa de reabastecimiento infinita. Una versión más realista del modelo considera que el tiempo de reposición es constante, es decir, siempre pasa el mismo número de horas, días o semanas desde que colocas el pedido hasta que llega al almacén. Si el tiempo de entrega es constante, podemos planear mejor.

Otro supuesto es que los costos son constantes. Tanto el costo por ordenar una sola vez (A) como el costo por mantener el inventario una unidad por unidad de tiempo (h) se mantienen fijos, sin importar la cantidad que se pida en cada ocasión. El costo por colocar un pedido es siempre el mismo y el costo por la tenencia de cada unidad en inventario por unidad de tiempo también se mantiene igual.

El modelo no admite faltantes, en palabras llanas, nunca te puedes quedar sin producto. En cuanto el inventario baja a un nivel llamado punto de reorden, o ROP, por sus siglas en inglés (Reorder Point), se coloca un nuevo pedido. De esta forma se evita perder ventas y molestar a los clientes por no tener lo que necesitan.

Tampoco se admiten descuentos por volumen. En la práctica muchas empresas ofrecen mejores precios cuando un cliente compra más unidades del producto. Sin embargo, el modelo EOQ básico no considera estos descuentos.

Por último, solo hay un artículo en el sistema, la cantidad económica a ordenar se calcula solamente para un producto: botellas de refresco, refacciones, bolsas de café en grano, costales de azúcar, etc.

Ejemplo del modelo EOQ

Supongamos que se ha proyectado una demanda de 1000 ensambles para el próximo año. El costo de cada ensamble es de $5, se incurre en un costo de $40 cada vez que se coloca un pedido, y el costo por mantener un ensamble en inventario por unidad de tiempo es de $2. Para calcular Q*, tenemos que:

$Q^*=\sqrt{\frac{2AD}{h}}$

Sustituyendo los valores que conocemos tenemos:

$Q^*=\sqrt{\frac{2\cdot(40)\cdot(1000)}{2}}$

$Q^*=200$

Esto significa que se deben ordenar 200 ensambles cada vez que coloca un pedido. Se puede calcular el costo total anual promedio mínimo sustituyendo los valores en la fórmula de K(Q*):

$K(Q^*)=cD+\frac{AD}{Q^*}+\frac{hQ^*}{2}$

$K(Q^*)=\left(5\cdot1000\right)+\frac{40\cdot1000}{200}+\frac{2\cdot200}{2}=\$5400$

Es decir que la política óptima de ordenar 200 ensambles por pedido conduce a un costo mínimo de $5400. Es importante notar que los costos por ordenar y por mantener anuales son iguales, ambos representan un desembolso de $200. El modelo EOQ básico equilibra estos costos para obtener el costo total anual promedio mínimo.

Geometría del inventario en el modelo EOQ

La geometría del inventario del modelo EOQ representa el inventario en función del tiempo. El nivel del inventario se asocia al eje vertical y el tiempo al eje horizontal.

Se considera que la cantidad económica a pedir se recibe justo en el momento en que el nivel del inventario es cero, para comprender esto hay que recordar que uno de los supuestos del modelo es la tasa de reabastecimiento infinita. El inventario máximo (Imax) es igual a la cantidad económica a ordenar óptima (Q*). Entonces:

$I_{max}=Q^*$

Para nuestro ejemplo:

$I_{max}=200$

El productor tendrá como máximo 200 ensambles en inventario.

La longitud del ciclo del inventario (T) se calcula como:

$T=\frac{Q^*}{D}$

Luego, considerando los datos de nuestro ejemplo tenemos que:

$T=\frac{200}{1,000}$

$T=0.2$

La longitud del ciclo del inventario es de 0.2 años, lo que significa que hay 5 ciclos durante un año, el número de ciclos (n) se determina como:

$n=\frac{1}{T}=\frac{D}{Q*}$

$n=\frac{1}{0.2}=\frac{1,000}{200}$

$n=5$

La longitud del ciclo del inventario también se puede expresar en meses, semanas o días:

$T_{meses}=\frac{Q^*}{D}\cdot(12)=2.4$

$T_{semanas}=\frac{Q^*}{D}\cdot(52)=10.4$

$T_{dias}=\frac{Q^*}{D}\cdot(365)=73$

La longitud del ciclo del inventario es 2.4 meses que son equivalentes a 10.4 semanas, y también son equivalentes a 73 días. Si solo se laboran 260 días, la longitud del ciclo del inventario se puede calcular en días como:

$T_{dias}=\frac{Q^*}{D}\cdot(260)=52$

Cada ciclo dura 52 días laborables. El inventario se agota a una tasa que depende de la demanda, si la demanda anual es de 1000 ensambles, se tiene:

$D_{diaria}=\frac{D}{365}$

$D_{diaria}=\frac{1000}{365}$

$D_{diaria}=2.7397$

Cada día el nivel del inventario disminuye 2.7397 ensambles. Consecuentemente, la pendiente de la recta de agotamiento (PRA) es negativa:

$PRA=-D=-2.7397$

La geometría del inventario de nuestro ejemplo es la siguiente:

A partir de la geometría del inventario, se nota que el inventario promedio se obtiene al calcular el promedio entre el nivel mínimo del inventario y el nivel máximo del inventario, pues la tasa de agotamiento del inventario es constante, todos los días el inventario se reduce 2.7397 ensambles:

$I_{promedio}=\frac{Q^*+0}{2}$

$I_{promedio}=\frac{Q^*}{2}$

$I_{promedio}=\frac{200}{2}$

$I_{promedio}=100$

En promedio, el productor tiene 100 ensambles en inventario a lo largo del año.

Explicación de los tres costos del modelo

El costo de compra es el costo del material o producto. Si c es el costo unitario y D la demanda anual, el costo anual de compra es:

$cD$

El costo por ordenar es aquel en el que se incurre al emitir las órdenes de compra. Si Q es el número de unidades que se adquieren cada vez que se ordena y A es el costo por ordenar una sola vez, el costo anual por ordenar es:

$\frac{AD}{Q}$

Hay que notar que el número de pedidos por año (n) se obtiene al dividir la demanda anual entre la cantidad que se ordena cada vez que se coloca un pedido:

$n=\frac{D}{Q}$

Si multiplicamos el costo en el que incurrimos al emitir una orden por el número de órdenes o pedidos anuales, tenemos el costo anual por ordenar:

$\frac{AD}{Q}=An$

El costo por ordenar o colocar un pedido se asocia con el pago de facturas, servicios públicos y privados que consume el departamento de compras, sueldos y salarios del departamento de compras, renta de equipo, inspección del inventario entrante, etc.

El costo de mantenimiento o de almacenamiento del inventario es el costo relacionado con el inventario en bodega. El costo de mantener el inventario durante un año se obtiene al multiplicar el costo anual por mantener una unidad por el inventario promedio. Para calcular el costo anual por mantener una unidad (h), consideremos que i es el costo anual del capital (costo de oportunidad):

$h=ic$

El costo de capital es el costo de oportunidad en el que se incurre por la tenencia o mantenimiento del inventario. Al tener inventario renunciamos al rendimiento que obtendríamos en caso de invertir el dinero en nuestra segunda mejor alternativa. Así, el costo anual por mantener el inventario se calcula multiplicando el costo anual por mantener una unidad por el inventario promedio:

$\frac{hQ}{2}=h \cdot \hspace{0.1 cm}Iprom$

El costo por mantenimiento del inventario se asocia con el costo de capital, seguros, robo, obsolescencia, deterioro, servicios que consume bodega, renta de equipo de bodega, sueldos y salarios de los empleados en bodega, etc.

Al sumar los tres costos se tiene la fórmula del costo total anual promedio:

$K(Q)=cD+\frac{AD}{Q}+\frac{hQ}{2}$

En la siguiente gráfica, se muestran las curvas asociadas al costo por ordenar y el costo por mantener el inventario. Ambos costos se intersecan cuando Q=200. Dado este valor para Q, el valor de ambos costos es $200. Al sumar ambos, obtenemos el costo variable total, cuyo mínimo se presenta cuando Q=200. Ahora calculamos el costo variable total, Kv(Q), cuando Q=200:

$K_{v}(Q=200)=\frac{AD}{Q}+\frac{hQ}{2}$

$K_{v}(Q=200)=\frac{40\cdot1000}{200}+\frac{2\cdot200}{2}$

$K_{v}(Q=200)=200+200$

$K_{v}(Q=200)=400$

El mínimo ocurre cuando ambos cotos variables —el costo por ordenar y el costo por mantener— son iguales.

Referencias

Chapman, S.N. (2006). Planificación y control de la producción. Pearson.
Collier. A.C., Evans, J.R. (2015). AO5. Cengage learning. Quinta edición.
Krajewski, L.J., Ritzman, L.P., Malhotra, M.K. (2013). Administración de operaciones. Procesos y cadena de suministro. Pearson. Décima edición.
Nahmias, S. (2014). Análisis de la producción y las operaciones. McGraw-Hill. Sexta edición.
Render, B., Heizer, J. (2014). Principios de administración de operaciones. Pearson. Novena edición.
Sipper, D., Bulfin, R.L. (1998). Planeación y control de la producción. McGraw-Hill. Primera edición.
Economic order quantity – Wikipedia
Economic Order Quantity: A State-of-the-Art in the Era of Uncertain Supply Chains
Economic Order Quantity (EOQ): Key Insights for Efficient Inventory Management

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