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Igualdad de matrices – Definición y ejemplos

Para que dos matrices se consideren iguales deben tener el mismo número de elementos y, además, los elementos deben ocupar la misma posición en ambas matrices.

Lo anterior implica que la matriz A es igual a la matriz B cuando A y B tienen el mismo orden mxn y, además, se cumple que:

a_{ij}=b_{ij}

para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.

Así, podemos establecer la siguiente definición:

Dos matrices A y B, ambas de orden mxn, son iguales cuando

a_{ij}=b_{ij}

para i=1, 2, 3,…,m y j=1, 2, 3,…,n.

La igualdad de dos matrices A y B se denota como:

A=B

Ejemplo 1:

A=\begin{bmatrix} 2 & 10 & 3\\ 0 & 8 & -1\\ 6 & 1 & -1\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 2 & 10 & 3\\ 0 & 8 & -1\\ 6 & 1 & -1\end{bmatrix}

Las matrices A y B son iguales porque tienen el mismo número de elementos y, cada uno de ellos ocupa la misma posición en ambas matrices.

Por ejemplo, el elemento en el segundo renglón y tercer columna de ambas matrices es el mismo:

a_{23}=b_{23}=-1

Ejemplo 2:

En el ejemplo anterior se tienen dos matrices cuadradas, es decir, con igual número de renglones que de columnas. En el presente ejemplo se tienen dos matrices de orden 3×2, o sea, ambas tienen tres renglones y dos columnas.

A=\begin{bmatrix} 10 & -2\\ 3 & 0\\ 8 & -1\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 10 & -2\\ 3 & 0\\ 8 & -1\end{bmatrix}

Las matrices A y B son iguales dado que tienen el mismo número de elementos y, además, se encuentran dispuestos en la misma posición en ambas matrices.

Por ejemplo, el elemento en el primer renglón y primera columna de ambas matrices es el mismo:

a_{11}=b_{11}=10

Ejemplo 3:

A=\begin{bmatrix} 0 & -5\\ 4 & -1\\-3 & 0\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 0 & -5\\ 4 & -1\\-3 & 0\end{bmatrix}

Nuevamente, se tiene que A es igual a B porque tienen el mismo número de elementos y cada uno de ellos ocupa la misma posición en ambas matrices

Por ejemplo, el elemento en el primer renglón y primera columna de ambas matrices es el mismo:

a_{11}=b_{11}=0

Ejemplo 4:

A=\begin{bmatrix} -2 & 10 & 5 & 1 & -3\\ \frac{1}{2} & -2 & 8 & 6 & \sqrt{2}\\ -2 & 5 & -1 & 8 & 8\\ 2 & \frac{4}{5} & 5 & -1 & 10\\ 0 & \frac{1}{3} & 8 & -10 & -1\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} -2 & 10 & 5 & 1 & -3\\ \frac{1}{2} & -2 & 8 & 6 & \sqrt{2}\\ -2 & 5 & -1 & 8 & 8\\ 2 & \frac{4}{5} & 5 & -1 & 10\\ 0 & \frac{1}{3} & 8 & -10 & -1\end{bmatrix}

Las matrices A y B cumplen con la definición de igualdad entre matrices, entonces A=B.

Por ejemplo, el elemento en el segundo renglón y quinta columna de ambas matrices es el mismo:

a_{25}=b_{25}=\sqrt{2}

Ejemplo 5:

En los ejemplos anteriores se ha cumplido la definición de igualdad para matrices, pero siempre es beneficioso mostrar un ejemplo en el que no sea así.

A=\begin{bmatrix} 2 & 8 & -1\\ -3 & 0 & -4\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} -2 & 8 & -1\\ -3 & 0 & -4\end{bmatrix}

Las matrices A y B no son iguales, la razón es que el elemento en el primer renglón y primer columna es diferente:

a_{11}\not=b_{11}

a_{11}=2

b_{11}=-2

Por lo tanto, se tiene que:

A\not=B

Ejemplo 6:

A=\begin{bmatrix} 3 & 11 & 0 & -5\\ 10 & 2 & 0 & -4\\ -6 & 12 & 0 & -1 \\ 6 & 1 & 4 & -8\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 3 & 11 & 0\\ 10 & 2 & 0\\ -6 & 12 & 0\\ 6 & 1 & 4\end{bmatrix}

Las matrices A y B no son iguales, no tienen el mismo número de elementos y, por lo tanto, no cumplen con la definición de igualdad entre matrices.

La matriz A es de orden 4×4 y la matriz B es de orden 4×3, o sea que, la matriz A tiene 16 elementos y la matriz B tiene 12 elementos.

Ejemplo 7:

A=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 0 & -3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 2 & 0 & 1\\ -1 & -3 & 0\end{bmatrix}

Se observa que ambas matrices tienen el mismo número de elementos y, además, son los mismos, pero no ocupan la misma posición, por ejemplo:

a_{12}=-1

b_{12}=0

Entonces:

a_{12}\not=b_{12}

Además, el orden de las matrices es diferente, la matriz A es de orden 3×2, o sea que tienen 6 elementos dispuestos en 3 renglones y 2 columnas y, la matriz B es de orden 2×3, lo que implica que tiene 6 elementos dispuestos en 2 renglones y 3 columnas.

Se puede concluir que A y B no son iguales:

A\not=B

Ejemplo 8:

A=\begin{bmatrix} x & -1\\ 7 & -4\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 7 & -4\end{bmatrix}

En este caso las matrices son iguales siempre que:

x=2

De otro modo, las matrices no cumplen con la definición de igualdad.

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Cómo citar

Editor. (26 enero 2020). Igualdad de matrices – Definición y ejemplos. Celeberrima.com. Última actualización el 09 marzo 2022.