Ejemplos propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática

Las raíces de una ecuación con la forma ax²+bx+c=0 poseen propiedades relacionadas con los coeficientes de la ecuación.

Las propiedades son las siguientes:

Sean x₁ y x₂ las raíces que satisfacen la ecuación cuadrática

Propiedad 1. La suma de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al coeficiente b asociado al término de primer grado (bx) entre el coeficiente a asociado al término de segundo grado (ax²):

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

Propiedad 2. El producto de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al coeficiente c asociado al término independiente (c) entre el coeficiente a asociado al término de segundo grado (ax²):

$(x_1)(x_2)=\frac{c}{a}$

En los siguientes ejemplos se verifica que las raíces cumplen las propiedades mencionadas.

Ejemplo 1:

x² + x – 2 = 0 con raíces $x_1=1$ y $x_2=-2$

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a=1, b=1 y c=-2

Sustituimos los valores para verificar que se cumplen las propiedades:

Propiedad 1. $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$1-2=-\frac{1}{1}$

$-1=-1$

Propiedad 2. $(x_1)(x_2)=\frac{c}{a}$

$(1)(-2)=\frac{-2}{1}$

$-2=-2$

Ejemplo 2:

x² – 8x + 7 = 0 con raíces $x_1=7$ y $x_2=1$

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a=1, b=-8 y c=7

Sustituimos los valores para verificar que se cumplen las propiedades:

Propiedad 1. $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$7+1=-\frac{-8}{1}$

$8=8$

Propiedad 2. $(x_1)(x_2)=\frac{c}{a}$

$(7)(1)=\frac{7}{1}$

$7=7$

Ejemplo 3:

4x² + 9x + 5 = 0 con raíces $x_1=-1$ y $x_2=-1.25$

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a=4, b=9 y c=5

Sustituimos los valores para verificar que se cumplen las propiedades:

Propiedad 1. $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$-1-1.25=-\frac{9}{4}$

$-2.25=-2.25$

Propiedad 2. $(x_1)(x_2)=\frac{c}{a}$

$(-1)(-1.25)=\frac{5}{4}$

$1.25=1.25$

Ejemplo 4:

x² – 9x + 20 = 0 con raíces $x_1=5$ y $x_2=4$

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a=1, b=-9 y c=20

Sustituimos los valores para verificar que se cumplen las propiedades:

Propiedad 1. $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$5+4=-\frac{-9}{1}$

$9=9$

Propiedad 2. $(x_1)(x_2)=\frac{c}{a}$

$(5)(4)=\frac{20}{1}$

$20=20$

Ejemplo 5:

x² – 1x – 6 = 0 con raíces $x_1=3$ y $x_2=-2$

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a=1, b=-1 y c=-6

Sustituimos los valores para verificar que se cumplen las propiedades:

Propiedad 1. $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$3-2=-\frac{-1}{1}$

$1=1$

Propiedad 2. $(x_1)(x_2)=\frac{c}{a}$

$(3)(-2)=\frac{-6}{1}$

$-6=-6$

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