Ejemplos propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática

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Las raíces de una ecuación con la forma ax2+bx+c=0 poseen propiedades relacionadas con los coeficientes de la ecuación.

Las propiedades son las siguientes:

Sean x1 y x2 las raíces que satisfacen la ecuación cuadrática

  • Propiedad 1. La suma de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al coeficiente b asociado al término de primer grado (bx) entre el coeficiente a asociado al término de segundo grado (ax2):

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

  • Propiedad 2. El producto de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al coeficiente c asociado al término independiente (c) entre el coeficiente a asociado al término de segundo grado (ax2):

(x_1)(x_2)=\frac{c}{a}

En los siguientes ejemplos se verifica que las raíces cumplen las propiedades mencionadas.

Ejemplo 1:

x2 + x – 2 = 0 con raíces x_1=1 y x_2=-2

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a=1, b=1 y c=-2

Sustituimos los valores para verificar que se cumplen las propiedades:

Propiedad 1. x_1+x_2=-\frac{b}{a}

1-2=-\frac{1}{1}

-1=-1

Propiedad 2. (x_1)(x_2)=\frac{c}{a}

(1)(-2)=\frac{-2}{1}

-2=-2

Ejemplo 2:

x2 – 8x + 7 = 0 con raíces x_1=7 y x_2=1

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a=1, b=-8 y c=7

Sustituimos los valores para verificar que se cumplen las propiedades:

Propiedad 1. x_1+x_2=-\frac{b}{a}

7+1=-\frac{-8}{1}

8=8

Propiedad 2. (x_1)(x_2)=\frac{c}{a}

(7)(1)=\frac{7}{1}

7=7

Ejemplo 3:

4x2 + 9x + 5 = 0 con raíces x_1=-1 y x_2=-1.25

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a=4, b=9 y c=5

Sustituimos los valores para verificar que se cumplen las propiedades:

Propiedad 1. x_1+x_2=-\frac{b}{a}

-1-1.25=-\frac{9}{4}

-2.25=-2.25

Propiedad 2. (x_1)(x_2)=\frac{c}{a}

(-1)(-1.25)=\frac{5}{4}

1.25=1.25

Ejemplo 4:

x2 – 9x + 20 = 0 con raíces x_1=5 y x_2=4

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a=1, b=-9 y c=20

Sustituimos los valores para verificar que se cumplen las propiedades:

Propiedad 1. x_1+x_2=-\frac{b}{a}

5+4=-\frac{-9}{1}

9=9

Propiedad 2. (x_1)(x_2)=\frac{c}{a}

(5)(4)=\frac{20}{1}

20=20

Ejemplo 5:

x2 – 1x – 6 = 0 con raíces x_1=3 y x_2=-2

Solución:

Identificamos los coeficientes:

a=1, b=-1 y c=-6

Sustituimos los valores para verificar que se cumplen las propiedades:

Propiedad 1. x_1+x_2=-\frac{b}{a}

3-2=-\frac{-1}{1}

1=1

Propiedad 2. (x_1)(x_2)=\frac{c}{a}

(3)(-2)=\frac{-6}{1}

-6=-6

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