Menú Cerrar

Ejemplos matrices conformables para la multiplicación

Dos matrices A y B son conformables para la multiplicación si el producto matricial AB existe. De manera general podemos decir que, dos matrices A y B son conformables para la multiplicación (AB) cuando la primer matriz A tiene el mismo número de columnas que el número de renglones la segunda matriz B.

Si la matriz A es de orden mxn, entonces, la matriz B debe ser de orden nxq, o sea que, la matriz A tiene m renglones y n columnas, en tanto que, la matriz B tiene n renglones y q columnas y, entonces, la matriz C=AB existe ya que las matrices A y B son conformables para la multiplicación, el número de columnas (n) de la matriz A es igual al número de renglones (n) en la matriz B.

n=n

Sin embargo, no es posible calcular BA porque, en este orden, las matrices no son conformables para la multiplicación. La matriz B tiene n renglones y q columnas, mientras que, la matriz A tiene m renglones y n columnas, el número de columnas (q) de la matriz B es diferente al número de renglones (m) de la matriz A.

q\not=m

Entonces, la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Los siguientes ejemplos muestran matrices conformables para la multiplicación:

Ejemplo 1:

Sean las matrices A y B:

A=\begin{bmatrix} 9 & 12 & -6\\ 12 & -3 & 0\\ -15 & 1 & 8\\ 0 & 8 & -4\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 2 & 1\\ -1 & -2\end{bmatrix}

Existen dos posibilidades: multiplicar AB o BA. Para determinar si las matrices son conformables para la multiplicación tenemos que revisar el orden de cada una de ellas:

MatrizNúmero de renglonesNúmero de columnasOrden
A434×3
B323×2

La matriz A tiene 4 renglones y 3 columnas, luego, es de orden 4×3. La matriz B tiene 3 renglones y 2 columnas, por lo tanto, es de orden 3×2.

El producto AB existe porque la matriz A tiene tantas columnas (3) como renglones tiene la matriz B (3).

AB=\begin{bmatrix} 9 & 12 & -6\\ 12 & -3 & 0\\ -15 & 1 & 8\\ 0 & 8 & -4\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 2 & 1\\ -1 & -2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9 & 0\\ 18 & -3\\ 9 & -15\\ 20 & 16\end{bmatrix}

Sin embargo, el producto BA no existe porque la matriz B tiene un número de columnas (2) diferente al número de renglones de la matriz A (4).

Si dos matrices A y B son conformables para el producto AB, no necesariamente lo son para el producto BA.

Ejemplo 2:

Sean las matrices A y B:

A=\begin{bmatrix} 5 & 2\\ 0 & -3\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix}-3 & 1\\ 2 & 4\end{bmatrix}

De nuevo, se tienen dos posibilidades, la primera es el producto matricial AB y la segunda es el producto matricial B. Para determinar si las matrices A y B son conformables para la multiplicación examinamos el orden de ambas:

MatrizNúmero de renglonesNúmero de columnasOrden
A222×2
B222×2

En este ejemplo tenemos que ambos productos matriciales existen. El producto AB existe porque la matriz A tiene tantas columnas (2) como renglones tiene la matriz B (2); y el producto BA también existe porque la matriz B tiene tantas columnas (2) como renglones tiene la matriz A (2). Sin embargo, los resultados de los productos matriciales no son iguales:

AB=\begin{bmatrix} 5 & 2\\ 0 & -3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} -3 & -1\\ 2 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -11 & 3\\ -6 & -12\end{bmatrix}

BA=\begin{bmatrix} -3 & -1\\ 2 & 4\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 5 & 2\\ 0 & -3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -15 & -3\\ 10 & -8\end{bmatrix}

Ejemplo 3:

Sean las matrices A y B:

A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ -3 & -2\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} -1 & -2 & 0\\ 0 & 3 & 1\end{bmatrix}

Examinamos la conformabilidad de las matrices A y B para dos posibles productos AB y BA:

MatrizNúmero de renglonesNúmero de columnasOrden
A323×2
B232×3

El producto AB existe porque la matriz A tiene un número de columnas (2) igual al número de renglones en la matriz B (2). Y, el producto BA también existe porque la matriz B tiene un número de columnas (3) igual al número de renglones en la matriz A (3).

AB=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ -3 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & -2 & 0\\ 0 & 3 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & -2 & 0\\ 0 & -3 & -1\\ 3 & 0 & -2\end{bmatrix}

BA=\begin{bmatrix} -1 & -2 & 0\\ 0 & 3 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\\ -3 & -2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 2\\ -3 & -5\end{bmatrix}

Los resultados de los productos matriciales son diferentes porque la multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa.

Ejemplo 4:

Sean las matrices A y B:

A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 3 & 6 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1\\ -3 & 1 & 0\end{bmatrix}

Revisamos el orden de ambas matrices:

MatrizNúmero de renglonesNúmero de columnasOrden
A333×3
B333×3

Ahora, sabemos que los productos AB y BA existen. El primero producto AB existe porque la matriz A tiene 3 columnas, número que coincide con el número de renglones de la matriz B. Análogamente, el producto BA existe porque la matriz B tienen 3 columnas que es el mismo número de renglones de la matriz A.

AB=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 3 & 6 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1\\ -3 & 1 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

BA=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1\\ -3 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ 3 & 6 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

En este ejemplo los resultados de los productos matriciales son iguales y, además, son la matriz identidad de orden 3, esto se explica porque la matriz B es la matriz inversa de la matriz A y, viceversa.

Ejemplo 5:

Sean las matrices A y B:

A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -4\\ 3 & 6 & 1\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -4\\ 3 & 6 & 1\\ 10 & 8 & 7\\ 8 & 9 & 10\end{bmatrix}

Primero, revisamos el orden de ambas matrices para determinar si son conformables para la multiplicación:

MatrizNúmero de renglonesNúmero de columnasOrden
A232×3
B434×3

Los productos AB y BA no existen, en ambos casos, se tiene que las matrices A y B no son conformables para la multiplicación.

El producto AB no existe porque la matriz A tiene un número de columnas (3) diferente al número de renglones (4) que tiene la matriz B.

De manera similar, el producto BA no existe porque la matriz B tiene un número de columnas (3) diferente al número de renglones (2) que tiene la matriz A.

Como se ha visto en los ejemplos anteriores, el orden en que se realiza un producto matricial altera el resultado del mismo. Se dice que en el producto matricial AB, la matriz A premultiplica a la matriz B y, la matriz B posmultiplica a la matriz A.

Si las matrices A y B son tales que AB=BA, entonces, se dice que conmutan o que son permutables.

También te puede interesar:

Cómo citar

Editor. (09 febrero 2020). Ejemplos matrices conformables para la multiplicación. Celeberrima.com. Última actualización el 09 marzo 2022.